北师大版（2024）八年级上册数学期中模拟试卷（含答案解析）

这是一份北师大版（2024）八年级上册数学期中模拟试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图标中轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是
A. 两角及一边分别相等的两三角形全等
B. 全等的两个图形一定成轴对称
C. 三角形三内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
D. 有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形
3.如图，AB=DB，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DBE的是( )
A. BC=BEB. AC=DE
C. ∠A=∠DD. ∠ACB=∠DEB
4.如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15∘，则点B的纵坐标为( )
A. −2B. − 22C. − 23D. −12
5.小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近8时整的是( )
A. B. C. D.
6.下列几组数中，是勾股数的有( )
①9，40，41；②3a，4a，5a(a为正整数)；③13，14，15；④32，1，52．
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
7.若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为( )
A. 30B. 27C. 35D. 40
8.如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6B. 10.5C. 13.5D. 16.5
9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论中不一定成立的是 ( )
A. ∠B=∠CB. BD=CDC. ∠1=∠2D. AD=BD
10.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC,AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=10，则▵ABD的面积为( )
A. 15B. 20C. 25D. 30
11.△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的运动速度是2cm/s，点Q运动速度是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P运动的时间为t(s).当△PBQ是直角三角形时，t的值是( )
A. 2.5B. 4C. 2.5或4D. 5或2.5
12.如图，在直线AC的同一侧分别作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论 ①△ABE≌△DBC; ②AG=DH; ③BH平分∠AHC; ④△GBF是等边三角形;以上结论正确有( )
A. ① ③ ④B. ① ② ③C. ② ③ ④D. ① ② ④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= 时，它是直角三角形．
14.如图，D在BC边上，▵ABC≌▵ADE，∠EAC=40∘，则∠BAD的度数为_______．
15.如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P，使点P到B，C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在 ．
16.如图，直线DE分别交△ABC边AC、AB于点D、E，将△ABC沿DE翻折，使点A恰好与点C重合．若AB=3，BC=2，则△BCE的周长是______．
17.如图，在一个长为2米，宽为1米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽AD平行且大于AD木块的正面是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从A处爬行到C处需要走的最短路程是 米.
18.如图，点B，F，C，E在同一直线上，且BF=EC，AC/​/DF.要使△ABC≌△DEF，则还需添加一个条件为 .(只填一个即可)
19.在锐角△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B= ．
20.如图，在Rt▵ABC中，∠ABC=90 ∘，∠BAC=30 ∘，BC=4，D是AC的中点，E是BC上一动点，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90 ∘得到线段DF，连接AF，EF．
(1)当点E和点C重合时，AF=__ ____．
(2)在点E运动的过程中，AF的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接EF，连接EF，且使DE始终与AB垂直．
(1)求证；△BDF是等边三角形．
(2)AD与CF之间有怎样的数量关系？请你写出证明过程．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，DE//AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE=∠ACB=30∘．
(1)求证：△FCD是等腰三角形;
(2)若BC=DE，则∠CAD的度数为 ．
23.(本小题8分)
如图，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，点A(−2,1)，B(−3,4)，C(−5,2).在所给直角坐标系中解答下列问题：
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)求△A1B1C1的面积是______．
(3)在x轴上找一点P，使得PA+PB1的值最小，则点P的坐标为______．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E，点F在CD上，且EF=EC，连接BF．
(1)求证AC=BF；
(2)若AB=10，BF=6，求BE的长．
26.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC．
(1)尺规作图：作BC边上的高线AD.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB=10，BC=12，求高线AD的长．
27.(本小题8分)
在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，点D，E分别是AB，BC上的点，连接DE．
(1) 【基础设问】若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则▵BDE是 三角形.(填“等腰”“等边”或“直角”)
(2)如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD=4，BC=8，则BE= ．
(3)如图2，若AD=AC，DE⊥AB.求证：点E在∠BAC的平分线上．
(4) 【能力设问】
如图3，点P在AC上运动，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F．
①判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
②若AC=4，BC=6，PA=1，求线段DE的长．
28.(本小题8分)
在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为8cm，宽为4cm的长方形纸片进行折纸探究活动．
(1)【操作说明】
如图①，在长方形纸片DEFG上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠(如图②)．
(1)试探究重叠部分▵ABC的形状，并说明理由．
(2)求▵ABC面积的最小值．
(2)【感悟作图】
把长方形纸片DEFG对折，折痕为MN，请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
(3)如图③，试在折痕MN上找一点P，使得▵DEP为等边三角形．
(4)如图④，在线段DG上找一点Q，在线段EF上找一点H，使得▵EQH为等边三角形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，等边三角形的判定，轴对称图形．
根据三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分析A，根据轴对称图形的概念分析B，根据角平分线的性质分析分析C，根据等边三角形的判定分析D．
【解答】
解：A、两角和一边对应相等的两三角形全等，故此说法错误；
B、全等三角形不一定成轴对称，故此说法错误；
C、三角形三内角平分线的交点到三个边的距离相等，故此说法错误；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，说法正确；
故选：D．
3.【答案】B
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连结OB，作BD⊥x轴于点D，由OC=BC=1，∠C=90°，得OB= OC2+BC2= 2，由∠COB=45°，∠COD=15°，得∠DOB=30°，则BD= 22，则点B的纵坐标为− 22，于是得到问题的答案．
【解答】
解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB=90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴OC=BC=1，∠C=90°，
∴OB= OC2+BC2= 12+12= 2，
∵∠COB=∠CBO=45°，∠COD=15°，
∴∠DOB=∠COB−∠COD=45°−15°=30°，
∴BD=12OB=12× 2= 22，
∴点B的纵坐标为− 22，
故选：B．
5.【答案】D
6.【答案】B
【解析】解：①92+402=412，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意；
②(3a)2+(4a)2=(5a)2，且3a，4a，5a(a为正整数)都是正整数，是勾股数，符合题意；
③132+142≠152，不是勾股数，不符合题意；
④32，1，52不都是正整数，不是勾股数，不符合题意．
综上所述，有2组符合题意．
故选：B．
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
7.【答案】A
8.【答案】C
【解析】解：如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是18，点D是BC边的中点，连接AD，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×3×AD=18，
解得：AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最小值=12(CM+MD)+CD=AD+BC=12+12×3=12+1.5=13.5．
故选：C．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查轴对称−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
10.【答案】A
【解析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作DH⊥AB于点H，根据作图可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质可得CD=DH=3，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可得，AD平分∠BAC，
∵∠C=90∘，
∴DC⊥AC，
∴CD=DH=3，
∵AB=10，
∴▵ABD的面积为12⋅AB⋅DH=12×10×3=15，
故选：A．
11.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB=BC=10cm，∠B=60°，
∵由题意得：AP=2t，BQ=t，
∴BP=(10−2t)cm，
△PBQ中，BP=10−2t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，∠B=60°，
∴∠BPQ=90°−∠B=30°，
∴BQ=12BP，
即t=12(10−2t)，
t=2.5，
当∠BPQ=90°时，∠B=60°，
∴∠BQP=90°−∠B=30°，
∴BP=12BQ，
10−2t=12t，
t=4．
∴当t=2.5或t=4时，△PBQ是直角三角形．
故选：C．
根据等边三角形的性质得直角三角形∠B=60°，表示出BQ与PB的关系，分情况进行讨论：∠BPQ=90°或∠BQP=90°.然后在Rt△BQP中列出方程进行求解即可．
本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用数形结合以及分类讨论是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到BA=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC，即可证明▵ABE≌▵DBC，即可判断①；证明▵AGB≌▵DFBASA，则AG=DF>DH，即可判断②；过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N.根据全等三角形的性质和三角形面积得到12AE⋅BM=12CD⋅BN，即可判断③；根据GB=FB，∠DBF=60∘，即可证明④．
【解答】
解：∵▵ABD，▵BCE都是等边三角形，
∴∠ABD=∠EBC=60∘，BA=BD，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠DBF=180∘−∠ABD−∠EBC=60∘，
在▵ABE和▵DBC中，
BA=BD∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴▵ABE≌▵DBCSAS，故①正确，
∴∠BAE=∠BDC，
在▵AGB和▵DFB中，
∠BAG=∠BDFAB=DB∠ABG=∠DBF=60∘,
∴▵AGB≌▵DFBASA，
∴AG=DF>DH，
故②错误；
过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N.
∵▵ABE≌▵DBC，
∴AE=CD，S △ABE=S △DBC
∵BM⊥AE，BN⊥CD，
∴12AE⋅BM=12CD⋅BN，
∴BM=BN，
∴BH平分∠AHC，故③正确；
∵▵AGB≌▵DFB，
∴GB=FB，
又∵∠DBF=60∘，
∴▵GBF是等边三角形，故④正确；
综上可知，正确的是①③④．
13.【答案】2
【解析】解：(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2，
解得：m=±2，
当m=−2时，m+1