2025年湖南省常德市初中学校教学教研共同体初中学业水平模拟考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份2025年湖南省常德市初中学校教学教研共同体初中学业水平模拟考试数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了在草稿纸、试题卷上作答无效；等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页．时量120分钟．满分120分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及倒数，熟练掌握数轴上有理数的表示及倒数是解题的关键；由数轴可知点A表示的数是，然后根据倒数可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，
∴它的倒数是；
故选D．
2. 下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，
根据定义逐个判断即可，将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能够与本身重合的图形是中心对称图形．
【详解】解：因为图A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图A是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方以及幂的乘方，根据各自的运算法则一一计算并判断即可．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离．我国国庆阅兵上展示的，其速度可达到15马赫，约18360千米/小时．其中数据18360用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：18360用科学记数法表示为，
故选：C．
5. 天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（ ）
A. 明天全市将有99%的地方是晴天
B. 明天全市将有99%的时间会是晴天
C. 明天全市是晴天的可能性较大
D. 明天全市一定会是晴天
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率意义的理解逐项判断即可．
【详解】解：因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，所以A不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市不一定的时间是晴天，所以B不符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，晴天的可能性较大，所以C符合题意；
因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天,不一定全市一定晴天，所以D不符合题意．
故选：C．
6. 一次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像所在象限，
根据可知一次函数的图像经过第一，三象限，由，可知一次函数的图像经过第一，二，三象限，可得答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图像经过第一，三象限．
∵，
∴一次函数的图像经过第一，二，三象限，
所以一定不经过第四象限．
故选：D．
7. 如图，点在上，点在优弧上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由圆周角定理可得：，
故选：B．
8. 已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（ ）
A 100海里B. 80海里C. 60海里D. 50海里
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出为等边三角形．
根据方向角，平行线性质，推出为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，，
，
为等边三角形，
海里，
故选：A．
9. 如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可根据直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一进行分析判断．
【详解】解：选项A 在中，，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∴，该选项正确．
选项B 在中，，
∴． 又
∵，
∴，该选项正确．
选项C ，∵，，
∴
∴，即，该选项正确．
选项D 设，
∵
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
由勾股定理，
∴，
∴， ，显然，该选项错误．
故选∶D
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质（角所对直角边与斜边的关系、勾股定理）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于熟练运用这些性质，对每个选项进行合理推导与判断．
10. 如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，摆放得到图2所示，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形；证明和为等边三角形，求得，，解直角三角形即可求解；
【详解】解：，
且，
，且为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题给出等式（ ），要求的值，可通过等式变形来求解．本题考查等式的基本性质以及分式的化简．解题关键在于根据所求式子的形式，合理利用等式性质，在已知等式两边同时除以合适的非零式子（ ），从而得到的值．
【详解】解：∵
∴在等式两边同时除以，
得到 ．
∴ ,
故答案为：．
12. 已知是方程的解，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】将代入方程，求出a即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
13. 如图，在正五边形中，交于点，则___________度．
【答案】18
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，
先根据正多边形的内角和定理求出，再根据角的和差得出答案．
【详解】解：正五边形中，
∴．
∵，
∴．
故答案为：18．
14. 小明参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“龙蛇飞舞”“画蛇添足”“龙腾虎跃”“虎头蛇尾”的4张卡片中，随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，根据4张卡片中3张成语含有‘蛇”字，利用概率公式求解即可．
【详解】解：4张卡片中3张成语含有‘蛇”字，
故随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有‘蛇”字的概率是：，
故答案为：
15. 已知近视眼镜的镜片屈光力（单位：）与镜片的焦距（单位：米）满足函数关系：．已知一块近视眼镜的镜片屈光力为，则该镜片的焦距为___________米．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由题意可知，把代入即可得出答案．
【详解】解：∵
∴，
当时，则（米）
故答案为：
16. 如图，在边长为6的菱形中，对角线，相交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，中位线的性质，菱形的性质，
根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，即点M是的中点，再根据菱形的性质可知是的中位线，可知，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知是的垂直平分线，
∴点M是的中点．
∵四边形是菱形，
∴，
即点O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：3．
17. 图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于___________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
证明是等边三角形，求出，得到（），即可得到答案．
【详解】解：矩形，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
（），
故答案为：
18. 约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，
根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，再根据直角三角形的性质得，然后根据题意可知，进而求出，则答案可得．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∵与互为“完美关联角”，
∴，
即或，
解得或．
在中，或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式和绝对值的化简、0指数和负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
原式先化简二次根式和绝对值、计算0指数和负整数指数，再计算加减即可.
【详解】解：原式
.
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，然后把分式除法转化成乘法，约分计算，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
．
当时，原式
21. 某调研小组为解决学生拖延的坏习惯，在某校开展了调研活动，并提供一些应对策略．同学们根据自身实情，选择其中一项（每人只选一项）对自己最有效的策略：A：即刻行动；B：心理暗示；C：“神奇的4分钟法则”；D：邀请别人督促自己；E：换个环境学习（如换学校，在家学习等）．为此，在三个年级各随机发放相同数量的调查问卷，让同学们现场填写，及时回收，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）参加调查的人数共有___________人；请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，表示“C”扇形的圆心角度数为___________度；扇形统计图中的的值为___________．
（3）若该校学生有人，请估算该校选择“A”策略的学生人数．
【答案】（1），图见解析
（2）
（3）该校选择“A”策略的学生约有人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图的综合运用，求扇形统计图中的圆心角．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）利用选择“B”学生人数除以其所占调查总人数的百分比即可；求出选择“C”的学生人数，从而即可补全条形统计图；
（2）利用选择“C”的学生人数除以其所占调查总人数的百分比，再乘以，求出“A”的百分比，即可解答；
（3）用“A”的学生人数所占百分比乘总人数，即可．
【小问1详解】
解：参加调查的人数有：（人），
选择“C”的人数为：（人）；补全条形统计图如下：
【小问2详解】
，
∴．
故答案为．
【小问3详解】
（人）．
答：该校选择“A”策略的学生约有400人．
22. 某数学兴趣小组运用无人机、测角仪等工具测量甲、乙两栋建筑物之间的距离．如图，在空旷的点处释放无人机，以的速度匀速竖直上升，飞行至点处悬停，测得甲、乙建筑物底部（点）的俯角分别为和．若图中所有的点都在同一平面内，且点在同一水平直线上．已知，求甲、乙两栋建筑物之间的距离．（结果保留根号）
【答案】甲、乙两栋建筑物之间的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
先求出，再根据特殊角的三角函数求出，然后根据可得答案．
【详解】解：由题意知，，
，
．
在中，，
．
同理，在中，，
．
答：甲、乙两栋建筑物之间的距离为．
23. 某校为举办风筝艺术节计划购买一批风筝．已知哪吒2系列风筝的单价比普通动物风筝的单价多35元，用1300元购买哪吒2系列风筝的数量与用600元购买普通动物风筝的数量相同．
（1）求哪吒2系列风筝和普通动物风筝的单价；
（2）若购买150个风筝，哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，问：购买哪吒2系列风筝的数量为多少时，学校花费最少．
【答案】（1）哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元
（2）购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意列方程是解题的关键．
（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．列出分式方程求解即可；
（2）设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．根据题意列出不等式求得购买哪吒2系列风筝范围，再列出一次函数，根据一次函数的性质即可求得最小值购买哪吒2系列风筝．
【小问1详解】
解：（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是方程的解，也符合题意，
．
答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元；
【小问2详解】
解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．
哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，
，
解得．
根据题意得，
，
当时，取最小值．
答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少．
24. 如图，是的内接三角形，，．点在的延长线上，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可；
（2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，是直径，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的证明和勾股定理是解题的关键．
25. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的值为或
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）结合抛物线经过点，且对称轴为直线，列式求解，即可解题；
（2）将点代入抛物线的表达式，并结合表示出，，再根据建立等式求解，即可解题；
（3）在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，导角得到，进而求出，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
【小问3详解】
解：如图，轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数几何综合，解题的关键在于正确掌握相关知识．
26. 如图1，，点在同一条直线上，点与点重合，．将沿向左移动，当点与点重合时，停止移动．
（1）当点与点重合时，判断：的形状是___________；
（2）当边在边上时，
①如图2，若边与边相交于点，且．证明：是的平分线；
②如图3，若，连接，当线段长为多少时，是直角三角形？
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）①详见解析；②当线段时，是直角三角形
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质得，再证明，即可得出，故可得出结论；
（2）①连接，设边与相交于点．证明，得，得是等腰三角形，再证明，得，从而得,再根据证明，可得，从而得出结论；
②过点作于点，证明四边形是矩形，得出，．再证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：①如图1，连接，设边与相交于点．
，
，．
在和中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
，
即是的平分线；
②如图2，过点作于点．
在中，，
．
由①证得，
．
∴若是直角三角形，只有．
，
．
于点，
四边形是矩形，
，
．
，，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
当线段时，是直角三角形．