安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学[临泉县教师进修学校]2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]

这是一份安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学[临泉县教师进修学校]2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]，共11页。试卷主要包含了二+选修一第一，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考查范围：高中数学 必修一、二+选修一第一、二章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2.已知（i为虚数单位)，则( )..；
A.2B.C.4D.8
3.已知，，则( )
A.B.C.D.
4.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
6.将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为( )
A.6B.3C.D.
7.已知随机事件A和B，下列表述中正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若A，B互斥，则D.若A，B对立，则
8.已知为R上的奇函数，，且在区间上单调递减.若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，正方形中，M是的中点，若，则( )
A.B.C. D.
10.2023年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子10米气步枪金牌，并打破世界纪录，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表：
则下列说法正确的是( )
A.成绩的众数是10.5环B.成绩的极差是0.4环
C.成绩的分位数是10.5环D.平均成绩是10.4环
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是( )
A.是偶函数B.是奇函数
C.在R上是增函数D.的值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为________.
13.已知直线与直线平行（其中m为实数），则它们之间的距离为______.
14.已知，若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，.
（1）求点B到平面CDE的距离；
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）在中，已知.
（1）若，且，求的面积；
（2）若，求a的取值范围.
17.（15分）已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）求使不等式成立的x的取值范围.
18.（17分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数；
（2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率.
19.（17分）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
答案及解析
1.答案：D
解析：由不等式，解得，则.又，所以，故选D.
2.答案：B
解析：由复数，可得，所以.
故选B.
3.答案：C
解析：由已知，得，，所以.
4.答案：A
解析：由直线方程可得，因此直线l过定点，设为A，因此.故点A在圆C的内部，从而直线l与圆C相交，故选A.
5.答案：C
解析：对于A，若，，则或n与相交或，A不正确；
对于B，若，，则或，B不正确；
对于C，过m作平面使，则，由得，所以，C正确；
对于D，若，，则，D不正确，故选C.
6.答案：B
解析：将的图象向左平移个单位长度，得到，其图象与的图象重合，则，所以，又，所以的最小值为3.故选B.
7.答案：D
解析：选项A：若，则，因此，而非，错误.
选项B：若，则，因此，而非，错误.
选项C：若A和B互斥，则，故，而非1，错误.
选项D：若A和B对立，则为必然事件，故，正确.故选D.
8.答案：B
解析：因为为R上的奇函数，所以是偶函数.又因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增.又，，所以，所以，故选B.
9.答案：AB
解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，
则，，，，则.
故，，，故，
解得，故，，，故选：AB.
10.答案：BC
解析：对于A，题表中10.5和10.6出现的次数最多，所以成绩的众数是10.5环，10.6环，A错误；
对于B，成绩的极差是（环），B正确；
对于C，，所以成绩的分位数是将数据从小到大排列后的第3个数，为10.5环，C正确；
对于D，平均成绩是（环），D错误.故选BC.
11.答案：BC
解析：根据题意知，.，，，，函数不是偶函数，A错误；
，的定义域为R，关于原点对称，是奇函数，B正确；
易知在R上是增函数，C正确；
，，，，D错误.故选BC.
12.答案：
解析：因为，所以正六边形的的外接圆半径，
所以球O的半径，所以球O的表面积为.
13.答案：3
解析：因为直线与直线平行，则，解得，可知两直线分别为，，符合题意，所以两直线的距离为.
14.答案：
解析：由，可得，则，
则
.
15.答案：（1）4
（2）
解析：（1）以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Bxyz（图略），
则，，，，，，.
设平面CDE的一个法向量为，则，，
令，则，
点B到平面CDE的距离.
（2）易知平面ACD的一个法向量为，
由（1）知平面CDE的一个法向量为，.
易知二面角为锐二面角，
二面角的正切值为.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得，又，从而，
由得，从而，
所以的面积.
（2）由，
又，当且仅当时取等号，
从而，所以，
又因为中，，从而，
所以a的范围是.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，解得，
检验：当时，，定义域为R，
，且，都有，
所以是定义在R上的奇函数，故.
（2）由（1）知.
即，
得，即，
①当，即时，成立；
②当，即时，
原不等式等价于，解得.
综上，使不等式成立的x的取值范围是.
18.答案：（1），分位数为26.5
（2）
解析：（1）由频率分布直方图得，解得.
因为前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
所以样本数据的分位数在内，设为x，
则，解得，
故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的分位数为26.5.
（2）由频率分布直方图可知BMI值在内的频数为，
在内的频数为，所以两组人数比值为，
按照分层随机抽样的方法抽取6人，则在，中分别抽取2人，4人，
记这组2人的编号分别为，，这组4人的编号分别为，，，，
故样本空间
，共15个样本点，
设事件“抽取到的2人的BMI值不在同一组”，
则，共8个样本点，
故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为.
19.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
(2)连结FK，由(1)可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
环数
10.5
10.6
10.3
10.5
10.3
10.6
10.7
10.7
10.5
10.6