安徽省阜阳市临泉县第二中学2025^2026学年高一上学期开学数学试题[有解析]

这是一份安徽省阜阳市临泉县第二中学2025^2026学年高一上学期开学数学试题[有解析]，共29页。试卷主要包含了二章，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考查范围：初中数学+必修一第一、二章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
2.已知集合，，则集合的非空真子集的个数为( )
A.6B.8C.14D.16
3.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为(单位：)，，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是( )
A.身高在区间的男生比女生多3人
B.B组中男生和女生占比相同
C.超过一半的男生身高在以上
D.女生身高在组的人数有人
4.如图，在中，，，，P为边上一动点，，连接，则的最小值为( )
A.B.C.D.2
5.定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”.例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”.一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为( )
A.B.C.D.
6.如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A，都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为( )
A.B.C.D.
7.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，的直角顶点C在抛物线对称轴上，Q为线段上一点，且，则的值为( )
A.B.C.D.
8.我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结，CF，BG交于点P，若，则的长为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题中，正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的必要不充分条件
10.设正实数x，y满足，则( )
A.有最大值为1
B.有最小值为4
C.有最小值为5
D.有最大值为
11.若集合A具有以下性质：①，；②若，则，且当时，.则称集合A是“完美集”.下列说法正确的有( )
A.集合是“完美集”
B.有理数集Q是“完美集”
C.对任意的一个“完美集”A，若，则
D.对任意的一个“完美集”A，若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.关于的方程的解集中只含有一个元素，则k的所有可能值组成的集合是________.
13.已知 (其中n为正整数，且)，则_____.
14.如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：
(1)______.
(2)若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.
15.（13分）学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部E的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度.(参考数据：，，，，，)
16.（15分）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为
(1)分解因式：(当时，原式为0)(方法任意)；
(2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值(方法任意)
17.（15分）若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m.
(1)若比更远离1，求实数x的取值范围；
(2)判断是x比y更远离m的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并加以证明；
(3)已知，，若，证明：p比更远离.
18.（17分）将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A(如图1)的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接(如图2).已知，，，半圆O的直径为8.
(1)嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化.请你分析他俩谁说的对，并说明理由；
(2)当点F与点D重合时，如图3.
①判断与半圆O的位置关系，并证明；
②求图中阴影部分的面积和；
(3)设的中点为M，直接写出点M的运动路径长.
19.（17分）如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C.
（1）求该抛物线对应的函数表达式.
（2）已知直线与x，y轴分别相交于点D，E.
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，设直线MB，NC相交于点Q，连接QD，QE.求线段的最小值.
答案及解析
1.答案：D
解析：A、若，则，即，本选项不符合题意；
B、当时，，代入得，即，整理为，本选项不符合题意；
C、由得，
∵，
∴，即，
∵，
∴，本选项不符合题意；
D、若，由得，解得或，本选项符合题意；
故选：D．
2.答案：A
解析：解不等式得或，所以，所以，共3个元素，所以的非空真子集的个数为，故选A.
3.答案：D
解析：抽取的男生总人数为（人），
因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，
所以抽取的女生总人数为40人，
由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人，
由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），
则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；
B组中男生和女生占比不相同，选项B错误；
男生身高在以上的占比为，则选项C错误；
女生中E组的人数为（人），则选项D正确；
故选：D.
4.答案：A
解析：如图，作平分，作，连接交于G，
∵
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
，，
，
，
，
又P为边上一动点，即点E在与成夹角的射线上运动，的最小值为B到的垂线段的长度，即的最小值为的长.
，
，，，
，
即的最小值为，
故选：A.
5.答案：D
解析：取连，取点P，轴轴，垂直分别为，
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点P是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象l经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
∴，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
∴，解得：，
∴k的取值范围：，
故选：D.
6.答案：C
解析：连接，作上轴，轴于点D，E，
∵A关于原点成中心对称，为等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，为等边三角形，
∴，
∴
∴
∵点在函数的图象上，
∴
∴
∵
∴.
故选：C.
7.答案：A
解析：∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴令，即或，
∴，，
∵C在抛物线对称轴上，
∴，对称轴：直线，
∴为等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，解得：，
∵如图点C在第三象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴过点Q作，
，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
故选：A.
8.答案：A
解析：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、
，
，，
圆心在上，
点G为的中点，
，
，
，
，，
是等边三角形.
，
，
，
，
作交于点I，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
.
故选：A.
9.答案：AB
解析：对于A项，由可以推出，反之不可以，故A正确.
对于B项，由推不出，反之可以，故B正确.
对于C项，由可以推出，反之不可以，故C错误.对于D项，由题意知是的子集，所以可以推出，反之不可以，故D错误.故选AB.
10.答案：ACD
解析：对于A，由基本不等式，，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，
由A，，
则，即最小值为2，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，
当且仅当，
则，即，时取等号，故C正确；
对于D，，
又，
则当且仅当，即，时取等号，
则，
即有最大值为.
故选：ACD
11.答案：BCD
解析：对于A，因为，，但是，所以B不是“完美集”，故A错误；对于B，有理数集满足“完美集”的定义，故B正确；对于C，因为，，所以，所以，故C正确；对于D，任取，当x，y中有0或1时，显然，当x，y均不为0，1时，因为，所以，所以，所以，由选项C可得，同理可得，则，，所以，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选BCD.
12.答案：
解析：由方程
可知，
解得且，
方程可化简为，
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有两个相等且不为0和1的解，
，解得，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，
其中一个根为0，另一根不为1；
由得，
，此时方程的另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，
其中一个根为1，另一根不为0；
由得，
，此时方程的另一根为，满足题意；
综上所述：或0或3，
即k的所有可能值组成的集合是.
故
13.答案：
解析：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为.
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故；
(2)过点H作于M，如图：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为.
15.答案：博学楼的高度为9米
解析：过点E作于点F，由题意得，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴设，，
则，，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博学楼的高度为9米.
16.答案：(1)
(2)，
解析：(1)当时，，
多项式必有一个因式，
设，
，
比较同类项的系数得：，，
由，解得：，
由，解得：，
；
(2)多项式既能被整除，又能被整除，
多项式必有因式和，
当或时，，
当时，，
整理得：①，
当时，，
整理得：②，
①②，得：，
，
将代入②，得.
，.
17.答案：(1)
(2)是x比y更远离m的充分不必要条件；证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意可得，即，解得，
所以实数x的取值范围为.
(2)是x比y更远离m的充分不必要条件，
证明：①已知，则，
可得，即，
所以是x比y更远离m的充分条件.
②已知x比y更远离m，则，
举例，，，满足，但不满足，
所以不是x比y更远离m的必要条件.
综上，是x比y更远离m的充分不必要条件.
(3)证明：因为，，
，
当且仅当即时，等号成立.
因为，由(2)可知p比更远离，即得证.
18.答案：(1)嘉嘉说的对；理由见解析
(2)①与半圆O相切；证明见解析；②
(3)
解析：(1)嘉嘉说的对；
理由：如图，连接，，则.
的度数不变，
的长度也不变；
(2)①与半圆O相切；
证明：如图，过点O作于点N，
则，
，
，
.
，，，
.
半圆O的直径为8，
，
，
，解得，
，即是的半径，
与半圆O相切；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，.
，，
，
阴影部分的面积和；
(3)的中点M的运动路径长为.
连接，则，
，
，
，
点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动.
当点E与点A重合时，如图，；
当点F与点D重合时，如图.
是的直径，
，
，
，
，
，
.
19.答案：（1）
（2）①存在
②
解析：（1）解方程，得，，
，.
抛物线与x轴相交于，两点，
解得
该抛物线对应的函数表达式为.
（2）①对于，令，则，.
对于，令，则，，
，.
设直线BC对应的函数表达式为，
将，分别代入，
得解得
直线BC对应的函数表达式为.
联立得，解得.
如图（1），过点F作轴于点H，
则，，，
，，
.
，，
，.
设直线BP对应的函数表达式为，
将代入，得，解得，
直线BP对应的函数表达式为.
联立得解得或
点P在第三象限，.
②设，，直线MN对应的函数表达式为，
设直线BM对应的函数表达式为，
将代入，得，解得，
直线BM对应的函数表达式为.
设直线CN对应的函数表达式为，
将代入，得，
直线CN对应的函数表达式为.
联立得得，
.
将分别代入，，
得
，
，解得.
将分别代入，，
得，
，解得，
联立得
得出
，
点Q在直线上运动.
对于，令，则，.
如图（2），作点E关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则.
由轴对称的性质可得，
.
，
线段的最小值为.