湖南省永州市第四中学2025^2026学年高一上学期入学考试数学试题[有答案]

这是一份湖南省永州市第四中学2025^2026学年高一上学期入学考试数学试题[有答案]，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. 2D. 无解
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）

A. 米B. 米
C. 米D. 米
4. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为元，一头牛价格为元，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ）
A. 等于20gB. 小于20gC. 大于20gD. 与左右臂的长度有关
7. 已知实数，且，若恒成立，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 四边形中，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ）
A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好
B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差
C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 最大值为D. 的最小值为
11. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A 有最大值
B.
C.
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为___________
13. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积是___________．

14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交轴于点，连接，则的面积是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，
（1）当时，求与;
（2）若，求实数a的取值范围．
16. 已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题.
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若p，q中一真一假，求实数的取值范围.
17. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
（1）现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
（3）若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
18. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式：
（2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，点为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
答案
1-8
【正确答案】C
【正确答案】D
【正确答案】B
【正确答案】A
【正确答案】A
【正确答案】C
【正确答案】C
【正确答案】C
9.【正确答案】AD
10.【正确答案】ACD
11.【正确答案】ABD
12.【正确答案】
13.【正确答案】15
14.【正确答案】
15.【小问1】
当时，，
故，
由于，故，
【小问2】
当时，，
当时，，
若，则需满足或，解得
故
16.【小问1】
根据为假命题，可得是真命题，
即方程有两个不相等的实数根，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是；
【小问2】
若命题为真命题，
由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意；
所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，
此时且，即，可得实数取值范围是.
17.【小问1】
由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
【小问2】
由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
【小问3】
依题意，得．
方法一， ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二，，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以最小值为．
18.【小问1】
证明：连接.
因为，所以∠DOE=2∠F=90°.
因为与相切于点，所以.
所以∠ODA=∠DOE=90°.
所以AB//OE.
因为，所以∠B=∠OEC=∠C.
所以.
【小问2】
因为ODOA=sinA=35，所以OA=53OD.
因为OF=OC=OD,OA+OC=AC=AB=8,∠DOF=90°，
所以53OD+OD=8，所以，
所以OA=53×3=5,DF=OF2+OD2=2OF=32.
所以.
因为AD//OF，所以△AGD∼△OGF.
所以DGFG=ADOF=43.
所以DG=44+3DF=47DF=47×32=1227.
所以的长是.
19.【小问1】
由二次函数对称轴，可得，
又图象过点，
所以，解得，
所以抛物线的表达式为.
【小问2】
令，可得，即，
设直线解析式为，
代入两点可得，
解得，即直线解析式为，
设点Px,x2−5x−6，
过点作轴交于点，交轴于点，如图：
则点的坐标为，
∴PF=x−6−x2−5x−6=−x2+6x，
轴，，
，∴QPQO=PFOC=16−x2+6x=−16x−32+32，
当时，有最大值，此时，
把点向上平移4个单位长度得到点，故，
连接，则四边形DEPG是平行四边形，
，即，
由关于对称性可得点，且，
连接，则的最小值为长，
又，
即的最小值为.
【小问3】
，
，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线，
即y′=x+22−5x+2−6−2=x2−x−14，
过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
设点Na,a2−a−14，由平移得，
，
若如图，
，
即123=−a2−a−14a−−1，解得或（舍去），
故，
若如图，
，
∴123=a2−a−14a−−1，解得或（舍去），
∴N5+972,14+297，
综上，点的坐标为或5+972,14+297.