湖南省永州市第四中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合选项中图形，即可求解.
【详解】根据题意，利用图形的对称性，结合选项，只有选项B为对称图形.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】的否定为.
故选:A
3. 为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖．
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 平均数，方差B. 中位数，方差C. 中位数，众数D. 平均数，众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合数据的中位数和众数的概念及求法，求得数据的中位数和众数为定值，即可求解.
【详解】由表格数据可知，成绩为91分、92人的人数为人，
成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，
成绩从小到大排列后处在第25/26为的两个数都是98分，所以数据的中位数为98，
所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.
故选：C.
4. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，先测得,则点到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，垂足为，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，过点作，垂足为，
在直角中，，可得，
即到距离为.
故选：A.
5. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/小时，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大巴车的平均速度为千米/小时，当小车的平均速度为千米/小时，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】设大巴车的平均速度为千米/小时，当小车的平均速度为千米/小时，
根据题意，可得.
故选：A.
6. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.
【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；
对于B，是的一个必要不充分条件，B是；
对于C，是的一个充分不必要条件，C不是；
对于D，是的一个充分不必要条件，D不是.
故选：B
7. 平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，两点，规定其坐标“积和”运集为：．若，，，四个点的“积和”运算满足：，则以，，，为顶点的四边形不可能是（ ）
A. 等腰梯形B. 平行四边形
C. 矩形D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标“积和”运集的计算规则可知A、B、C、D四个点均在反比例函数图象上，据此即可判断结果．
【详解】设、、、，
则有：，，
，，
依据，得，
令，
则可知、、、均在反比例函数上，
根据题意可设构成的四边形为ABCD，则该四边形的对角线为AC和BD，
根据反比例函数图象的特征可知，四个顶点均在双曲线上的四边形的对角线AC与BD无法使得AC⊥BD，故构成的四边形不可能是菱形，
故选：D．
8. 如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，那么的值为（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得出a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，再代入原式进行计算即可．
【详解】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，
∴a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，
∴原式＝+
＝+﹣3
＝9×﹣3
＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
二、多项选择（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据因式分解的方法求解.
【详解】对A， ，A错误；
对B，，B错误；
对C，，C正确；
对D，，D正确；
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A 若，，则B. 若，，则a3cC. 若，则D. 函数的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；
对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；
对于D选项，将函数化简为，x2+4=t∈2,+∞，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误
【详解】对于A选项，取，，，则a2c>b2c，故错误；
对于B选项，，∴a3>b3，，∴a3c对于C选项，，∴a2>ab，，∴a2>ab>b2，故C正确；
对于D选项，函数y=x2+5x2+4=x2+42+1x2+4=x2+4+1x2+4，令x2+4=t∈2,+∞，
由函数在上单调递增，∴y≥2+12=52，故D错误.
故选：BC
11. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（ ）

A. 已知，，则
B. 已知或，，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据所给定义一一判断即可.
【详解】对于A：因为，，所以，故A错误；
对于B：因为或，，所以或，故B正确；
对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确；
对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分）
12. 设点在第二象限内，且，，则点P关于原点的对称点为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知求出点的坐标即得解.
【详解】因为，，所以.
又因为点在第二象限内，所以.
所以点坐标为.
所以点P关于原点的对称点为.
故答案为：
13. 若，则的最小值是___________.
【答案】8.
【解析】
【分析】
先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.
【详解】解：因为，所以，，
所以
当且仅当即时，取等号，
所以的最小值是8.
故答案为：8
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
14. 若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的个同学均匀排成一个以点为圆心，为半径的圆圈（每个同学对应圆周上的一个点），又来了2个同学，先到的同学沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有1个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每个人往后移______米（请用含有的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来个同学之间的距离相等．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，得到，求得，设有一个同学加入队伍时，每人须向后移动米，得到方程，求得，代入即可求解.
【详解】由原来个同学之间的距离为，则个同学之间的距离为，
由题意，可得，整理得，即，
设有一个同学加入队伍时，每人须向后移动米，
则个同学之间的距离为，
根据题意，可得，整理得，
因为，所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，，是斜边边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两组对应角相等的两个三角形相似即得；
（2）利用（1）中三角形相似，代入相应边长计算即得.
【小问1详解】
∵，，
∴，
又，∴
【小问2详解】
由（1）知：,
故得，即，
解得：.
16. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg．每日销售量（kg）与销售单价（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为元．
（1）求出日销售量与销售单价之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）当销售量单价为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当销售价格定为28元/kg时，销售这种板栗的日获利最大，最大利润为48400元
【解析】
【分析】（1）设函数应用待定系数法求解；
（2）先求出利润函数，再应用二次函数性质求出最大值即可.
小问1详解】
由题设销售量与销售单价之间的函数关系式为
将代入得 解得：
故销售量与销售单价之间的函数关系式为
【小问2详解】
由题及（1）可知：
∵ 故当时，有最大值，最大值为48400元．
答：当销售价格定为28元/kg时，销售这种板栗的日获利最大，最大利润为48400元．
17. 已知集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求解出，然后根据交集运算求解出结果；
（2）根据条件先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，由此求解出的取值范围.
【小问1详解】
当时，，或x>5，
所以
【小问2详解】
若，则，
①当时，；
②，则，.
综上所述，或．
18. 如图，平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，连接．

（1）求证：；
（2）若点是的中点．
①求证：；
②若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得，进而证得，即可得证；
（2）①根据题意，证得，得到，结合（1）知，即可得证；②根据，结合等边三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：在平行四边形中，可得且,
所以，因为平分，
所以，所以，所以，所以.
【小问2详解】
证明：①因为，所以，
因为点为的中点，可得，所以，所以，
由（1）知，所以；
②由①知，所以，
因为，所以为等边三角形，
又因为，所以.
19. 有两条抛物线相交于，并满足，其中为常数，我们不妨把叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：与抛物线2：相交于两点，其中，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和抛物线2分别与轴交于C，D两点，AB所在的直线与轴交于E点，若点A在轴上，，，抛物线2与轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可求解；
（2）根据题意，得到，得出方程，再由方程，得到，代入即可求解；
（3）根据题意，求得，得到方程，求得或，分类讨论，结合，得到，即可求解.
【小问1详解】
解：因为两条抛物线相交于两点，可得，
解得，即这两条抛物线的“依赖系数”为.
【小问2详解】
解：因为抛物线1：与抛物线2：相交于两点，
可得，所以，
因为，所以，
联立抛物线1和抛物线2，可得，
即，可得，所以，
即抛物线1与抛物线2的“依赖系数”为.
【小问3详解】
解：抛物线1：与抛物线2：相交于在轴上，
所以且，
联立方程组，可得，所以，
因为，所以，
整理得，所以或，
当时，，则，与题意矛盾，所以，此时
所以直线，所以，所以，
又因为，可得，
设，则，所以，
因为，所以为中点，
所以为圆的直径，点在圆上，所以，
所以，其中，
所以.成绩\分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
（元/kg）
10
11
12
（kg）
4000
3900
3800