贵州省贵阳市第一中学2025^2026学年高三上学期开学检测数学试题[有解析]

这是一份贵州省贵阳市第一中学2025^2026学年高三上学期开学检测数学试题[有解析]，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(面面平行、垂直的判定·基础)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
2．设集合，则=（ ）
A．B．C．D．
3．复数的虛部为（ ）
A．-1B．1C．D．
4．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，．粒子B相对粒子A的位移为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（ ）
A．-17B．-15C．17D．15
7．的三内角所对的边分别是，下列条件中能构成且形状唯一确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．
C．的面积大于2 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选）已知P，Q为圆O:x2+y2=4上两点，点A(1,0),B(2,0),C(3,0)，则下列说法中正确的是（ ）
A．若|PQ|=2，则PQ的中点M的轨迹方程为x2+y2=3
B．BP的中点轨迹方程为(x−1)2+y2=1
C．AP的中垂线与OP的交点轨迹为圆
D．CP的中点轨迹方程为(x−32)2+y2=1
11．已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12． 二项式 的展开式中，各项系数的最大值是 .
13．已知随机变量，若，则的最小值为 .
14．在正方体中，点是侧面内（不包含边界）的一个动点，且点在棱上运动，则二面角的余弦值的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求B；
(2)若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值．
16．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为.
（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设.
①求证：；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积.
17．已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若,为的零点，且，证明：．
18．已知在每一项均不为0的数列中，，且(，为常数，)，记数列的前项和为.
(1)当时，求；
(2)当，时，求证：数列为等比数列；
(3)在满足(2)中条件时是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
19．维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合.
(1)求，；
(2)（i）求中元素的个数；
（ii）记，求使得成立的最大正整数.
答案
1．【正确答案】A
对于A选项：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD，又由正方体的性质可得EF⊥DD1，又BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1.又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，所以A选项正确．
对于B选项：因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由选项A知平面B1EF⊥平面BDD1，若平面B1EF⊥平面A1BD，则BD⊥平面B1EF，显然不成立，
所以B选项错误．
对于C选项：由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，所以C选项错误．
对于D选项：如图，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面A1C1D与平面B1EF不平行，所以D选项错误．故选A.
2．【正确答案】A
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
3．【正确答案】A
【分析】
利用复数模长与四则运算进行计算即可.
【详解】
，所以虚部为-1.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，
可得且，
所以 在上的投影向量为.
故选C.
5．【正确答案】D
【详解】因为当时，，
则，即，
整理可得，解得，
若，则，
整理可得，
令，则，可得，
构建，则，
可知在内单调递增，
若与相切，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，整理可得，
注意到直线过定点，则，
整理可得，注意到，
可得，即，可得，
结合图象可知：，所以的取值范围是.
故选D.
6．【正确答案】D
【分析】
结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.
【详解】
因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，
又，，且，则，
即，所以，
故选：D.
7．【正确答案】D
【分析】
对于各个选项里的条件分别利用正弦定理，余弦定理或者三角形边的关系进行分析即可判断得解.
【详解】
对于A选项：
，则或
时，，是，的直角三角形，时，
由正弦定理得，，是正三角形，不唯一，A不正确；
对于B选项：由正弦定理得，则或，不唯一，B不正确；
对于C选项：由正弦定理得：，
由余弦定理得，则，而，矛盾，不能构成三角形，C不正确；
对于D选项：由三角形边的关系知1