【中考数学】2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考适应性模拟试卷（含解析），共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（ ）
A．+10元B．﹣10元C．0元D．+20元
2．（3分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2＝9x2B．5x•2x＝10x
C．x6÷x2＝x3D．（x﹣2）2＝x2﹣4
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（3分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2无解，那么实数m的值是（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝1或m＝﹣1D．m≠1且m≠﹣1
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．14
8．（3分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若代数式xx−3+（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 度．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为 ．
16．（3分）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为 ．
17．（3分）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧AA2，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧A2A4，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：9−|1−2|+2sin45°−(13)−2；
（2）分解因式：2x3﹣8x．
19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
20．（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
22．（10分）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a＝ ；
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
23．（12分）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是 ；
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝ ；
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝32，AB=6，则DE′的最小值为 ．
24．（14分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为 ；
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是 ．
2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（ ）
A．+10元B．﹣10元C．0元D．+20元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作﹣10元．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的标志不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意
D、此标志是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2＝9x2B．5x•2x＝10x
C．x6÷x2＝x3D．（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法、完全平方公式逐一求解即可．
【解答】解：A．（3x）2＝9x2，此计算正确，符合题意；
B．5x•2x＝10x2，此计算错误，不符合题意；
C．x6÷x2＝x4，此计算错误，不符合题意；
D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，此计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法的运算法则及完全平方公式．
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】利用平行线的性质可得到∠3的度数，再根据平角的定义得出∠4的度数，利用平行线的性质即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图所示，
由题意，∠5＝90°﹣30°＝60°，
∵直尺的对边平行，
∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠5＝70°，
∴∠2＝∠4＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是运用两直线平行，同位角相等．
5．（3分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解．
【解答】解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图，掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键．
6．（3分）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2无解，那么实数m的值是（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝1或m＝﹣1D．m≠1且m≠﹣1
【分析】分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【解答】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x），
整理，得：（m+1）x＝2，
原方程无解，
∴①整式方程无解，则：m+1＝0，解得：m＝﹣1，
②分式方程有增根，则：x﹣1＝0，解得：x＝1，
把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1，
综上：m＝1或m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，注意正确计算．
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．14
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，
∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是14，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得：45x+60y＝900，
整理得：x＝20−43y，
∵x、y均为正整数，
∴x=16y=3或x=12y=6或x=8y=9或x=4y=12，
∴租车方案有4种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分三种情况：点E在AB上时，点E在BC上且l与AD相交时，点E在BC上且l与CD相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
【解答】解：当点E在AB上时，如图，
∵∠A＝60°，l⊥AD，
∴∠AEF＝30°，
∴AF=12AE=12x，EF=AE2−AF2=32x，
∴y=12AF⋅EF=12⋅12x⋅32x=38x2，
∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；
当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图，
∵∠A＝60°，BH⊥AD，
∴∠ABH＝30°，
∴AH=12AB=2，BH=AB2−AH2=23，
∴y＝S△ABH+S矩形BEFH=12×2×23+23(x−4)=23x−63，
∴此时图象为直线一部分；
当点E在BC上且l与CD相交时，如图，
∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB+BC﹣x＝8﹣x，
∴EF=CE⋅tan60°=3(8−x)，
∴S△CEF=12CE⋅EF=12(8−x)⋅3(8−x)=32(8−x)2，
∴y=S菱形ABCD−S△CEF=AD⋅BH−32(8−x)2=4×23−32(8−x)2=−32x2+83x−243，
∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；
故选：A．
【点评】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】依据题意，由抛物线的图象开口向上，图象与y轴交于负半轴，及与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴当x＝0，则y＝c＜0．
又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，
∴1＜﹣1+x1＜2．
∴12＜−1+x12＜1．
∴对称轴是直线x=−1+x12=−b2a＞0．
∴b＞0．
∴abc＞0，故①错误．
由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c．
∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0．
∴2a+c＜0，故②正确．
∵12＜−1+x12＜1，且对称轴是直线x=−1+x12=−b2a＞0，
∴12＜−b2a＜1．
∵a＞0，
∴a＜﹣b＜2a．
∴2a+b＞0．
∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0．
∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误．
由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）．
∵当x＝0时，y＝c，
∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称．
如图所示，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确．
由题意，∵y=−cx1x+c过（0，c），（x1，0），
∴可以作图如下．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集是0＜x＜x1，故⑤正确．
综上，正确的有②④⑤共3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为 2.75×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：27500＝2.75×104．
故答案为：2.75×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）若代数式xx−3+（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是 x＞3且x≠2025 ．
【分析】由代数式有意义的条件可得：x﹣3＞0且x﹣2025≠0，求解即可得到答案．
【解答】解：∵代数式xx−3+（x﹣2025）0有意义，
∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0，
∴x＞3且x≠2025．
故答案为：x＞3且x≠2025．
【点评】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 160 度．
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算．
【解答】解：根据弧长的公式l=nπr180得到：
80π=nπ⋅90180，
解得n＝160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 43． ．
【分析】设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，可得点O为AC的中点，∠CON＝90°，进而可得ON为△ABC的中位线，可得ON∥AB，则∠CAB＝∠CON＝90°，再根据勾股定理可得AC=BC2−AB2=82−42=43．
【解答】解：设MN交AC于点O，
由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴点O为AC的中点，∠CON＝90°．
∵点N为BC的中点，
∴ON为△ABC的中位线，
∴ON∥AB，
∴∠CAB＝∠CON＝90°．
∵BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∴AC=BC2−AB2=82−42=43．
故答案为：43．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为 ﹣6 ．
【分析】求出点B的坐标为（﹣1，0），设点A坐标为（m，﹣m﹣1），根据AC＝BC，得到2m2+8m+16＝10，解方程并进一步即可得到点A坐标为（﹣3，2），利用待定系数法即可求出实数k的值．
【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为 （﹣1，0），
∵点C坐标为（0，3），
∴BC=OB2+OC2=12+32=10，
设点A坐标为（m，﹣m﹣1），
∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16，
∵AC＝BC，
∴AC2＝BC2，
∴2m2+8m+16＝10，
解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3，
∴点A坐标为（﹣3，2），
∴2=k−3，
解得 k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据AC＝BC和勾股定理列方程是解题的关键．
16．（3分）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为 125或1325 ．
【分析】根据折叠的性质得到DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，设AD＝3x，DE＝4x，得到AE＝5x＝5，求得AB＝AC＝6，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
设AD＝3x，DE＝4x，
∴AE＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AD＝BD＝3，DE＝4，
∴AB＝AC＝6，
∴CE＝1，
∴S△ABES△CBE=12×6×4S△CBE=51，
∴S△CBE=125；
如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
设AD＝3x，DE＝4x，
∴AE＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AD＝BD＝3，DE＝4，
∴AB＝AC＝6，
∴CE＝11，
∴S△ABES△CBE=12×6×4S△CBE=511，
∴S△CBE=1325；
综上所述△BEC的面积为125或1325，
故答案为：125或1325．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（3分）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧AA2，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧A2A4，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 (−2404832024，24048×332024) ．
【分析】分别求出OA1=OAcs30°=232=2×23，OA2=OA1cs30°=2×23×23=2×(23)2，OA3=OA2cs30°=2×(23)2×23=2×(23)3，…，得出OAn=2×(23)n，根据题意得出第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，求出OA4048=2×(23)4048=2×2404832024=2404932024，根据∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，得出∠AOA4048＝120°，然后求出结果即可．
【解答】解：根据题意可知：OA＝2，
OA1=OAcs30°=232=2×23，
OA2=OA1cs30°=2×23×23=2×(23)2，
OA3=OA2cs30°=2×(23)2×23=2×(23)3，
…，
OAn=2×(23)n，
∵点A，A1，A2作弧AA2为第1条弧，
点A2，A3，A4作弧A2A4为第2条弧，
…，
∴A4048A5050组成第2025条弧，
∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，
∴OA4048=2×(23)4048=2×2404832024=2404932024，
∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…，
∴12次操作循环一周，
∵4048÷12＝337…4，
∴∠AOA4048＝120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°，
∴OM=OA4048×cs60°=12×2404932024=2404832024，A4048M=OA4048×sin60°=32×2404932024=24048×332024，
∴A4048(−2404832024，24048×332024)，
∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为(−2404832024，24048×332024)．
故答案为：(−2404832024，24048×332024)．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：9−|1−2|+2sin45°−(13)−2；
（2）分解因式：2x3﹣8x．
【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）9−|1−2|+2sin45°−(13)−2
=3−(2−1)+2×22−9
=3−2+1+2−9
＝﹣5；
（2）2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，正确计算是解题的关键．
19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可．
【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝4，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 24 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为 86.4 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
【分析】（1）用排球的人数除以36%可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出m的值；
（2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360°乘足球对应的百分比即可得到答案；
（4）用样本估计总体进行计算即可．
【解答】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50，
故m=1250×100=24，
故答案为：24；
（2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16，
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：360°×24%＝86.4°，
故答案为：86.4；
（4）3000×1650×100%=960（人）．
答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，求得∠OCD＝90°根据切线的判定定理得到结论；
（2）由点B是AD的中点，得到BD＝AB＝2OC．求得OD＝OB+BD＝3OC，得到OCOD=13，根据三角函数的定义得到DE＝3BE＝9，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠A+∠ABC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD＝AB＝2OC．
∵OB＝OC，
∴OD＝OB+BD＝3OC，
∴OCOD=13，
∵BE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，
又∵∠OCD＝90°，
∴sinD=BEDE=OCOD=13．
∴DE＝3BE＝9，
在Rt△DBE中，
BD=DE2−BE2=92−32=62，
∴OC=32，
即⊙O半径为32．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键．
22．（10分）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 240 米，a＝ 7.5 ；
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）由图象直接可得A，B两区的距离和B，C两区的距离，从而求出A，C两区的距离，再由时间＝路程÷速度求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可；
（2）由时间＝路程÷速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度＝路程÷时间求出EF段的速度，再由路程＝速度×时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可；
（3）分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可．
【解答】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米），
机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分），
∴a＝7.5．
故答案为：240，7.5．
（2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分），
∴E（9，0），
机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分），
则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）．
（3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240，
解得x＝7，
当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30，
解得x＝11，
当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30，
解得x＝13，
∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
23．（12分）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是 相等 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是 相等 ；
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝ 3215−85 ；
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝32，AB=6，则DE′的最小值为 62 ．
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAD'＝90°，AD＝AD'，进而证明∠DAB＝∠D'AC，即可证明△DAB≌△D'AC（SAS），根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明△BCE'≌△DCE（SAS），得出∠BE'C＝∠DEC＝90°，结合CE＝CE'，即可得证；
（3）同（2）的方法证明△BCG∽△DCE，得出四边形CEFG是矩形，连接AC，BD交于点O，连接OF，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点A，F，B，C，D共圆，勾股定理求得AC，FC，进而解Rt△FCG，求得FG=3215，再证明∠ACF＝∠BCG，根据正弦的定义，得出BG=85，即可求解；
（4）连接AC，BD交于点O，证明△E'AO≌△EAB（SAS）得出∠AOE'＝∠ABE＝90°，当DE'⊥OE'时，DE'取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】（1）解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，
∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAD'＝∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△D'AC（SAS），
∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB；
故答案为：相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC．
∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′，
∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′．
∵∠DCB＝∠ECE′＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE
即∠DCE＝∠BCE′．
∴△BCE′≌△DCE（SAS）．
∴∠BE′C＝∠DEC＝90°．
∵∠CED+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°．
∴四边形CEFE′是矩形．
又∵CE＝CE′，
∴四边形CEFE′是正方形；
（3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，
∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'，
∵CGCE′=43，
∴CGCE=43，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴CD＝AB＝3，
∴BCCD=43，
∴CGCE=BCCD=43，
∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE'﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCE'，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠BGC＝∠DEC＝90°，
∵∠CED+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BGC＝∠ECG＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEFG是矩形，
如图，连接AC，BD交于点O，连接OF，
∵O是AC，BD的中点，
在Rt△OBF中，OF=12BD，
∴OF=12AC=OA=OC=OD=OB，
∴A，F，B，C，D共圆，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝BC，
∴AD=BC，
∴∠GFC＝∠ACD，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5，
∴cs∠ACD=ADAC=35，
∵AF＝2，
在Rt△AFC中，FC=AC2−AF2=21，
∴FG=FCcs∠CFG=3215，
∵BC=BC，
∴∠BFC＝∠BAC，
又∵∠AFC＝∠G＝90°，
∴∠ACB＝∠FCG，
∴∠ACB﹣∠FBC＝∠FCG﹣∠FBC，即∠ACF＝∠BCG，
∴sin∠ACF=AFAC=sin∠BCG=BGBC，
∴25=BG4，
∴BG=85，
∴BF=3215−85；
故答案为：3215−85；
（4）解：如图，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝OB，
∵AD=32，AB=6，
∴AC＝BD=AB2+AD2=26，
∴AO＝OB＝AB=6，
∴△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，
∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°，
∴∠OAB＝∠EAE'＝60°，
∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB，
又∵OA＝BA，E'A＝EA，
∴△E'AO≌△EAB（SAS），
∴∠AOE'＝∠ABE＝90°，
∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，
∴当DE′⊥OE'时，DE'取得最小值，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
又∵∠AOE'＝90°，
∴∠EOD＝30，
∴当DE'⊥OE'时，DE'=12OD=14BD=62，
故答案为：62．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（14分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为 （11，﹣30） ；
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是 29−2≤CF≤35 ．
【分析】（1）代入点A、B的坐标，求得系数，即可得到解析式；
（2）过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点P的坐标；
（3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRQ，则△BCR为等腰直角三角形．由旋转性质可得点R的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知G为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点G的坐标；
（4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析CF取最小值和最大值时候点F所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出CF的最小值，进而可得CF的范围．
【解答】解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3，
得a−b+3=036a+6b+3=0，解得a=−12b=52，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+52x+3．
（2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示，
则S△QBC＝S△PBC＝24，
∴12BQ⋅CO=24，
∵点C（6，0），则CO＝6，
∴BQ＝8，
又∵B（0，3），
∴点Q（0，﹣5），
∵B（0，3），C（6，0），
∴直线BC的解析式为y=−12x+3，
∵PQ∥BC，
∴直线PQ的表达式为y=−12x﹣5，
联立y=−12x﹣5与y=−12x2+52x+3，可解得x＝﹣2或8，
故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）．
（3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形．
从而∠CBR＝45°，如图b所示：
又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°，
∴点G为BR延长线与抛物线的交点．
由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6，
故点R坐标为（3，﹣6），
由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3，
联立y＝﹣3x+3与y=−12x2+52x+3，整理可得x2﹣11x＝0，
解得x＝11或0（舍去），
故点G坐标为（11，﹣30），
故答案为：（11，﹣30）．
（4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6．
连接OE，交MN于点G，如图c所示，
故OE=DE2+OD2=36+9=35，
∵OM∥EN，
∴△OMG∽△ENG，
∴OGEG=OMEN=12，EGOE=23．
作GH⊥DE于点H，如图c所示，
∵GH∥OD，
∴△GHE∽△ODE，
∴EGEO=GHOD=HEDE=23，
∴GH=23OD＝2，HE=23DE＝4，DH＝6﹣4＝2，
故DG=22．
取DG中点J，连接FJ、CJ，
∵∠DFG＝90°，
∴根据斜边中线定理可得FJ=12DG=2，
故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号．
易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0），
故CJ=52+22=29，则CF≥CJ﹣FJ=29−2．
当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE=35，
综上所述，CF的取值范围为29−2≤CF≤35，
故答案为：29−2≤CF≤35．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，45°角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B．
D
A
C
A
C
D
B
A
B