【中考数学】2025年黑龙江省绥化市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年黑龙江省绥化市中考适应性模拟试卷（含解析），共39页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A．≠B．≌C．≥D．±
2．（3分）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（ ）
A．56.01×104B．5.601×105
C．5.601×106D．0.5601×107
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．长方体C．圆锥D．四棱柱
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（ ）
A．16°B．30°C．38°D．76°
5．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（﹣2m3）2＝4m6
C．(−3)2=−3D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3
6．（3分）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
7．（3分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
8．（3分）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（ ）
A．25B．253C．255D．503
9．（3分）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
10．（3分）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ ）
A．30015+x=450xB．30015−x=450x
C．45015+x=300xD．45015−x=300x
11．（3分）如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：
①a﹣c＞0；
②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；
③−83＜b＜﹣2；
④a+b+cb−a＞0．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13．（3分）计算：（﹣1）2025+（−12025）0＝ ．
14．（3分）若式子1x+1有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝ ．
16．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝ ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为 ．
18．（3分）计算：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2= ．
19．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是 ．
20．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
21．（3分）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2；图（2）有3个三角形，记作a2＝3；图（3）有6个三角形，记作a3＝6；图（4）有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ （结果用含n的代数式表示）．
22．（3分）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4．
24．（7分）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 ，请补全条形统计图．
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
25．（12分）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元．
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h．
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 ．
26．（7分）如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）当PC＝6，PM=54CD时，求线段MF的长．
27．（10分）综合与实践
如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 ．
【用数学的语言表达】
（3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）
28．（11分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标；
（3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1．（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A．≠B．≌C．≥D．±
【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A，B，C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的数学符号能找到一条直线，剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（ ）
A．56.01×104B．5.601×105
C．5.601×106D．0.5601×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：560.1万＝5601000＝5.601×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．长方体C．圆锥D．四棱柱
【分析】根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是圆柱．
【解答】解：根据主视图和左视图是矩形可知该几何体是柱体，根据俯视图是圆可知该几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（ ）
A．16°B．30°C．38°D．76°
【分析】根据平行线的性质得出∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，根据角平分线定义得出∠EAD＝∠DAC，推出∠B＝∠C即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝38°，
∴∠C＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
5．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（﹣2m3）2＝4m6
C．(−3)2=−3D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、二次根式的性质、平方差公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意；
B、（﹣2m3）2＝4m6，故此选项符合题意；
C、(−3)2=3，故此选项不符合题意；
D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到x：（48﹣x）＝6：10，然后利用比例的性质求出x即可．
【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x：（48﹣x）＝6：10，
解得x＝18，
即较小三角形的周长为18cm．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
7．（3分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：D．
【点评】本题考查了中位数，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
8．（3分）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（ ）
A．25B．253C．255D．503
【分析】由矩形对角线性质得半对角线长为5，构造边长为5且夹角60°的等边三角形，求得矩形边长为5和53，面积为：5×53=253．
【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴每段长度为10÷2＝5．
∵对角线交角为60°，形成的三角形为两边长均为5，夹角为60°的三角形，符合等边三角形特征，
等边三角形的第三边长度为5，
因此矩形的邻边分别为5和5．
根据矩形性质，a2+b2＝102＝100，结合等边三角形边长关系，解得a＝5，b=53．
矩形面积为：5×53=253．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质与三角形面积公式的应用，解题关键在于利用对角线交角构造特殊三角形，通过三角函数求出矩形边长，再计算面积．
9．（3分）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【分析】设⊙O的半径是r cm，由弧长公式得到75πr180=2.5π，求出r＝6，即可得到⊙O的半径长．
【解答】解：设⊙O的半径是r cm，
∴75πr180=2.5π，
∴r＝6，
∴⊙O的半径是6cm．
故选：A．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式：l=nπr180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．
10．（3分）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ ）
A．30015+x=450xB．30015−x=450x
C．45015+x=300xD．45015−x=300x
【分析】设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，根据A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，列出分式方程即可．
【解答】解：设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，
由题意得：45015+x=300x，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（3分）如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3
【分析】延长DC，BA交于点E，设CD＝a（a＞0），则OB＝3a，求出OD=−ka，AB=−k3a，进而得到S△DOC=S△AOB=−k2，证明四边形OBED是矩形，再求出AE=−2k3a，CE＝2a，得到 S△AEC=−2k3，根据S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO建立方程求解即可．
【解答】解：延长DC，BA交于点E，
设CD＝a（a＞0），
∵CD：OB＝1：3，
∴OB＝3a，
∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，
∴a=kxC，3a=kxA，
∴xC=ka，xA=k3a，OD=−ka，AB=−k3a，
∵反比例函数y=kx经过A、C两点，
∴S△DOC=S△AOB=−k2．
∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°，
∴四边形OBED是矩形，BE=OD=−ka，DE＝OB＝3a，
∴AE=BE−AB=−2k3a，CE＝DE﹣CD＝2a，
∴S△AEC=12AE⋅CE=−2k3，
∴S矩形OBED=OD⋅OB=−ka×3a=−3k，
∵S△ACO＝4，
∴S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO，
即−3k−(−k2)−(−k2)−(−2k3)=4，
∴k＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：
①a﹣c＞0；
②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；
③−83＜b＜﹣2；
④a+b+cb−a＞0．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为−b2a=3−12=1，a＞0，则b＝﹣2a，当x＝﹣1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线 y＝5的位置关系可判定②；根据题意得到c=32b，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上，
∴对称轴直线为−b2a=3−12=1，a＞0，
∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3，
∴当x＝0，y＝c＝m，
∴﹣4＜c＜﹣3，
∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，c=32b，
∴−4＜32b＜−3 解得，−83＜b＜−2故③正确；
当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a，
∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0，
∴a+b+cb−a＞0，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13．（3分）计算：（﹣1）2025+（−12025）0＝ 0 ．
【分析】根据有理数的乘方运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可．
【解答】解：(−1)2025+(−12025)0=−1+1=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，掌握零指数幂运算法则，有理数的乘方运算法则是解题的关键．
14．（3分）若式子1x+1有意义，则x的取值范围是 x＞﹣1 ．
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可．
【解答】解：若式子1x+1有意义，
则x+1≥0且x+1≠0，
解得x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
15．（3分）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝ 2m（x﹣y）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2
＝2m（x2﹣2xy+y2）
＝2m（x﹣y）2，
故答案为：2m（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
16．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝ 2027 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝2025，mn＝1，代入整理后的代数式，即可求解．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，
∴m+n＝2025，mn＝1，
∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027，
故答案为：2027．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
17．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为 13 ．
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A'B'C'，根据位似变换的性质求出相似比．
【解答】解：∵把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∵点A和它对应点A'的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18．（3分）计算：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2= −yx+y ．
【分析】根据分式除法的运算法则先算除法，再通分计算减法即可．
【解答】解：原式＝1−x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)
=x+yx+y−x+2yx+y
=−yx+y．
故答案为：−yx+y．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
19．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是 153m ．
【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝15m，
∴AC＝152m，
由勾股定理得：AB=BC2+AC2=152+(152)2=153（m），
故答案为：153m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
20．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 23 ．
【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置．根据菱形的性质，作点P′和E关于BD对称．则连接CP′．PC+PE的最小值即为CP′的长．
【解答】解：作点P′和P关于BD对称．则连接CP′，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，P为CD中点，
∴点P′是AD的中点，
∴DP′=12CD=2，
∵BD＝43，AB＝AD＝4，
∴∠BAD＝120°，∠ADC＝60°，
∴CP′⊥AD，
∴CP′＝23．
PC+PE的最小值即为CP′的长：23．
故答案为：23．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
21．（3分）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2；图（2）有3个三角形，记作a2＝3；图（3）有6个三角形，记作a3＝6；图（4）有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ n2﹣2n+3 （结果用含n的代数式表示）．
【分析】观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：图（1）有2个三角形，记作a1＝02+2＝2；
图（2）有3个三角形，记作a2＝12+2＝3；
图（3）有6个三角形，记作a3＝22+2＝6；
图（4）有11个三角形，记作a4＝32+2＝11；
按此方法继续下去，则an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3．
故答案为：n2﹣2n+3．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．
22．（3分）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是 6或8或9 ．
【分析】过点D作DE∥|BC交BC于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【解答】解：过点D作DE∥BC交BC于点E，①当∠DBN＝90°时，如图（1），
∵△BAC，△DMN是等边三角形，∠DBN＝90°，
∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN，
即△DBE是等边三角形，
∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°，
∴∠EDN＝∠BDM，
∴△DEN≌△DBM（SAS），
∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE，
∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°，
∴∠BNE＝90°，
∴NE=12BE=1，
即BM＝1，
∴MC＝BC+BM＝7+1＝8．
②当∠BDN＝90°时，如图（2）
同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠NED＝∠MBD＝60°，
即∠DMB＝∠DNE＝90°，
∴BM=BDcs60°=2×12=1，
∴CM＝BC﹣BM＝6．
③当∠BND＝90°时，如图（3）
同理可证△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°，
∴∠DME＝∠DNB＝90°，
∴ME=DEcs60°=2×12=1．
∴CM＝BC﹣BM＝6．
④当∠BDN＝90°时，如图（4）
同理可证△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°，
∴∠MDE＝∠NDB＝90°，BE＝BC﹣BE＝5，
∴ME=DEcs60°=212=4，
∴CM＝ME+BE＝9．
综上所述，CM的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4．
【分析】（1）作OP平分∠MON即可；
（2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求．
【解答】解：（1）如图，射线OP即为所求；
（2）如图2中，弧CD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
24．（7分）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 40 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 45° ，请补全条形统计图．
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得这次抽查的志愿者人数；用360°乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案；求出C组的人数，补全条形统计图即可．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）这次抽查的志愿者共有12÷30%＝40（人）．
扇形统计图中A的圆心角度数是360°×540=45°．
故答案为：40；45°．
C组的人数为40×25%＝10（人），
补全条形统计图如图所示．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种，
∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
25．（12分）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元．
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 80 km/h．
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 1.5或4.5或6.5 ．
【分析】（1）分别设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（8000﹣a）颗，根据题意列关于a的一元一次不等式并示其解集，设所需资金W元，写出W关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W值最小，求出其最小值即可；
（3）①根据速度＝路程÷时间求出乙车的速度，根据路程＝速度×时间求出3h时y乙的值，从而根据速度＝路程÷时间求出甲车的速度即可；
②分别写出y甲、y乙与x之间的函数关系式，根据x的取值范围，当甲、乙两车相距30km时分别列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：（1）设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元．
根据题意，得m+2n=7502m+3n=1300，
解得m=350n=200．
答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元．
（2）设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（8000﹣a）颗．
根据题意，得a≥3（8000﹣a），
解得a≥6000，
设所需资金W元，则W＝350a+200（8000﹣a）＝150a+1600000，
∵150＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵a≥6000，
∴当a＝6000时W值最小，W最小＝150×6000+1600000＝2500000（元）．
答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元．
（3）①乙车的速度为（480﹣60）÷7＝60（km/h），
当x＝3时，y乙＝60+60×3＝240，
则甲车的速度为240÷3＝80（km/h）．
故答案为：80．
②y甲＝80x，
当80x＝480时，解得x＝6，
∴y甲与x之间的函数关系式为y甲＝80x（0≤x≤6），
y乙与x之间的函数关系式为y乙＝60x+60（0≤x≤7），
当0≤x≤6时，当甲、乙两车相距30km时，得|y乙﹣y甲|＝30，即|60x+60﹣80x|＝30，
解得x＝1.5或4.5，
当6＜x≤7时，当甲、乙两车相距30km时，得480﹣y乙＝30，即480﹣（60x+60）＝30，
解得x＝6.5，
∴当甲、乙两车相距30km时，x的值为1.5或4.5或6.5．
故答案为：1.5或4.5或6.5．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法，一次函数的增减性，时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
26．（7分）如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）当PC＝6，PM=54CD时，求线段MF的长．
【分析】（1）过点O作ON⊥PB于点N，证明△PMO≌△PNO（AAS），则ON＝OM，由OM为⊙O的半径得到ON为⊙O的半径，由ON⊥PB即可证明PB是⊙O的切线；由角平分线的性质定理得到ON＝OM，由OM为⊙O的半径得到ON为⊙O的半径，由ON⊥PB即可证明PB是⊙O的切线；
（2）证明△OMP∽△OEC，则CEPM=OCOP，求出OC＝4，则OC＝OM＝4，在Rt△MOP中，求出PM=221得到CE=DE=4215OE=85，证明△MFP∽△EFD，则FMEF=MPED，设MF＝x，则EF＝4﹣x−85=125−x，$即可求出答案．
【解答】（1）方法一：证明：过点O作ON⊥PB于点N，
∵ON⊥PB，
∴∠PNO＝90°，
∵PA与⊙O相切于点M，
∴OM⊥PA，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO，
∴△PMO≌△PNO（AAS），
∴ON＝OM，
∵OM为⊙O的半径，
∴ON为⊙O的半径，
∵ON⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
方法二：证明：过点O作ON⊥PB于点N，
∵PA与⊙O相切于点M，
∴OM⊥PA，
∵∠APO＝∠BPO，
∴PO是∠APB的平分线，
∴ON＝OM，
∵OM为⊙O的半径，
∴ON为⊙O的半径，
∵ON⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵CD⊥OM，OM为半径，
∴CE=DE=12CD，
∵PM=54CD，
∴CDPM=45，
∴CEPM=25，
∵∠OMP＝90°，∠OEC＝90°，
∴CD∥PM，
∴△OMP∽△OEC，
∴CEPM＝OCOP，
∵PC＝6，
∴25＝OCOC+6，
∴OC＝4，
∴OC＝OM＝4，
在Rt△MOP中，PM＝OP2−OM2＝(6+4)2−42＝221，
∴CE＝DE＝4215，OE＝OC2−CE2＝42−(4215)2＝85，
∵∠FMP＝∠FED，∠MFP＝∠EFD，
∴△MFP∽△EFD，
∴MFEF=MPED，
设MF＝x，则EF=4−x−85=125−x，
∴x125−x=2214215，
解得x=127，
∴MF=127．
【点评】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键．
27．（10分）综合与实践
如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 2a+88 ．
【用数学的语言表达】
（3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）
【分析】（1）证明△BAE≌△DAG（SAS），导角即可得解；
（2）由题易知tan∠CMB＝tan∠DMG=DGDM，所以求出用a表示出DM即可，连接AC交BC于点O，易证△CMO∽△GMD，利用相似比求出DM即可得解；
（3）分类讨论，解△ADE即可得解．
【解答】解：（1）BD⊥DG，理由如下；
在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°﹣∠DAE，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°，
∴BD⊥DG；
（2）连接AC交BD于点O，则∠COD＝90°，
∵正方形边长为8，
∴AC＝BD=2AB=82，
∴OC＝OD＝42，
∴OM＝OD﹣DM＝42−DM，
∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD，
∴△CMO∽△GMD，
∴DGOC=DMOM，即a42=DM42−DM，
解得DM=42a42+a，
∵∠BDG＝90°，
∴tan∠CMB＝tan∠DMG=DGDM=a⋅42+a42a=2a+88，
故答案为：2a+88；
（3）当点E在线段BD上时，如图，过E作EK⊥AD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝45°，
∴△DEK为等腰直角三角形，
∴DK＝EK＝DE•sin45°=22x，
∴AK＝AD﹣DK＝8−22x，
在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2
＝（22x）2+（8−22x）2
＝x2﹣82x+64，
∴S＝AE2＝x2﹣82x+64；
当点E在BD延长线上时，如图，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L，
同理可得EL＝DL=22x，
∴AL＝AD+DL＝8+22x，
在Rt△ALE中，AE2＝EL2+AL2
＝（22x）2+（8+22x）2
＝x2+82x+64，
∴S＝AE2＝x2+8x+64；
综上，S与x的函数解析式为S＝x2﹣82x+64或S＝x2+82x+64．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等内容，分类讨论是解题的关键．
28．（11分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标；
（3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（1，0），B（﹣5，0）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出C（0，﹣5），直线BC的解析式y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分x＜﹣5，﹣5＜x＜0，0＜x＜1和 x＞1，四种情况解答；
（3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，得∠AGF＝∠AHP＝90°，根据等腰直角三角形．得AF＝AP，∠PAF＝90°，得∠FAG＝∠APH，得△AFG≌△PAH（AAS），得AH＝FG，PH＝AG，设P（m，m2+4m﹣5），分﹣5＜m＜1和m＞1两种情况解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点，
∴a+b−5=025a−5b−5=0，
解得a=1b=4，
∴y＝x2+4x﹣5；
（2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，
∵B（﹣5，0），
∴﹣5k﹣5＝0，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5），
则E（x，﹣x﹣5），
当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5，
∵PE＝3ED，
∴x2+5x＝3（﹣x﹣5），
解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去），
∴点P不存在；
当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5，
∴﹣x2﹣5x＝3（x+5），
解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去），
∴x2+4x﹣5＝﹣8．
∴P1（﹣3，﹣8）；
当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在；
当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5），
解得x＝3，或x＝﹣5（舍去），
∴x2+4x﹣5＝16，
∴P2（3，16），
故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）；
（3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，
则∠AGF＝∠AHP＝90°，
∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．
∴AF＝AP，∠PAF＝90°90°，
∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°，
∴∠FAG＝∠APH，
∴△AFG≌△PAH（AAS），
∴AH＝FG，PH＝AG，
设P（m，m2+4m﹣5），
当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5，
∴FG＝1﹣m，
∴﹣x﹣5＝1﹣m，
∴x＝m﹣6，
∴F（m﹣6，1﹣m），
∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m，
∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m，
解得m＝﹣1，m＝﹣2，
∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）；
当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5，
∴FG＝m﹣1，
∴﹣x﹣5＝m﹣1，
∴x＝﹣m﹣4，
∴F（﹣m﹣4，m﹣1），
∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5，
∴m2+4m﹣5＝m+5，
解得m＝2，m＝﹣5（舍去），
∴P坐标为 （2，7）；
故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）．
【点评】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
5
B
160≤x＜165
4
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
12
E
175≤x＜180
9
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C．
A
C
B
B
D
B
A
C
D
题号
12
答案
A
组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
5
B
160≤x＜165
4
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
12
E
175≤x＜180
9
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）