初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与二次函数当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与二次函数当堂检测题，共97页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27698" 【题型1 销售问题】 PAGEREF _Tc27698 \h 2
\l "_Tc27684" 【题型2 拱门问题】 PAGEREF _Tc27684 \h 3
\l "_Tc23690" 【题型3 投球问题】 PAGEREF _Tc23690 \h 6
\l "_Tc21592" 【题型4 拱桥问题】 PAGEREF _Tc21592 \h 7
\l "_Tc1245" 【题型5 隧道问题】 PAGEREF _Tc1245 \h 9
\l "_Tc4782" 【题型6 喷水问题】 PAGEREF _Tc4782 \h 11
\l "_Tc5518" 【题型7 跳跃问题】 PAGEREF _Tc5518 \h 13
\l "_Tc10412" 【题型8 实物问题】 PAGEREF _Tc10412 \h 15
\l "_Tc31236" 【题型9 情境问题】 PAGEREF _Tc31236 \h 18
\l "_Tc3089" 【题型10 图表问题】 PAGEREF _Tc3089 \h 22
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数y=ax2+bx+c
使用配方法，则当x=−b2a时，y有最大（小）值4ac−b24a．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
【题型1 销售问题】
【例1】（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格=150(1+x%)），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（单位：件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=−2x+24．若该公司按浮动−12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
(2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）×日销售量．）
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于−3时，扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而减小，直接写出a的取值范围．
【变式1-1】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a60≤a≤100元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【变式1-2】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【变式1-3】（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植x棵甲果树（x为正整数），每年所获得的利润W1（元）与x之间的函数关系式为W1=−8x2+mx−60，且当x=20时，W1=6340；种植z棵乙果树（z为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与z的平方成正比，物资成本与z成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为W2（元），经过统计获得如下数据：
(1)求出W1关于x，W2关于z的函数关系式；
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
【题型2 拱门问题】
【例2】（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），OQ=8m，四边形ACDB区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高AC=EF=HN=BD=54m，AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+83x（a为常数，且a≠0）．
(1)求a的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN与BD之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为54m（即AE=EH=54m，求自动检票通道的总宽度BH．（闸机宽度忽略不计）
【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行．
(3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形ABCD），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB、AD、CD为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【变式2-2】（2025九年级下·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
【变式2-3】（2023·北京房山·一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a