2025-2026学年广东省中山市濠头中学高一（上）月考数学试卷（三）（含解析）

这是一份2025-2026学年广东省中山市濠头中学高一（上）月考数学试卷（三）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={(x,y)|2x−y=0}，B={(x,y)|3x+y=0}，则A∩B=( )
A. (0,0)B. {(0,0)}C. {0}D. 0
2.已知a=(2,3)，b=(x,−6)，若a与b共线，则x=( )
A. 4B. 3C. −3D. −4
3.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cs(π2+α)=( )
A. −35B. −45C. 35D. 45
4.设l1，l2，l3是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β=l1，l2∈α，l3∈β，则“l2//l3”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知等差数列{an}满足：a3+a6+a9+⋯+a3n=34n(n+1)(n∈N+)，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 13D. 12
6.已知圆M的圆心在曲线xy=2(x>0)上，圆M与直线x+2y+1=0相切，则圆M面积最小值为( )
A. 5πB. 2 5πC. 5πD. 10π
7.已知函数f(x)定义域为R，且满足f(x)=6−f(−x)，g(x)=f(x)−f(−x)2+3，若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则i=1m(xi+yi)=( )
A. 0B. mC. 2mD. 3m
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足A1P≤ 5，则四面体A1−PBD的体积的最小值是( )
A. 23
B. 43
C. 4−2 23
D. 4−2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知ω=−12+ 32i，复数z满足|z−ω|=1，则( )
A. |ω|=1B. ω⋅ω−=1C. 1+ω+ω2=ω3D. |z|的最大值为2
10.函数f(x)=(x2−ax+1)ex，下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则a≤1
B. 若函数f(x)在x=−1处取得极大值，则ab>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为 33．
(1)求E的方程；
(2)过点T(3,0)且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线AF与E交于点C(异于A)．
(i)证明：△FBC为等腰三角形；
(ii)若点M是△ABC的外心，求△AMC面积的最大值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx−x+ax(a>0)．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求证：1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1)(n∈N∗)．
19.(本小题17分)
已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为12，传球给其他队员的概率均为16；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是14，开始进攻时，球在乙手中．
(1)求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
(2)经过n次传球后，球回到乙手中的概率；
(3)记经过n次传球后，球到甲的手中的概率为Pn，求证：满足Pn>625的n的个数不少于满足Pn0)上，不妨设M(a,2a)(a>0)，
又因为圆M与直线x+2y+1=0相切，
则圆M的半径为点M到直线x+2y+1=0的距离，
即r=|a+4a+1| 1+4=a+4a+1 5≥2 a⋅4a+1 5= 5，
当且仅当a=4a，即a=2时等号成立，
即圆M的半径的最小值rmin= 5，所以圆M面积的最小值为π×( 5)2=5π．
故选：C．
根据题意可设M(a,2a)(a>0)，根据点到直线的距离公式结合基本不等式可得rmin= 5，即可得结果．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及不等式的性质和应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=6−f(−x)，f(−x)=6−f(x)，
所以f(x)的图象关于点(0,3)对称，
令ℎ(x)=f(−x)−f(x)2，
因为ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2=−f(x)−f(−x)2=−ℎ(x)
所以ℎ(x)=f(x)−f(−x)2是奇函数，
所以g(x)=ℎ(x)+3的图象关于点(0,3)对称，
所以f(x)，g(x)的图象的交点关于(0,3)对称，
所以i=1m(xi+yi)=i=1mxi+i=1myi=0+3m=3m．
故选：D．
判断f(x)与g(x)图象的对称性，从而求得i=1n(xi+yi)．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，因为A1A⊥平面ABCD，AP⊂平面ABCD，
所以A1A⊥AP，
因为A1A=2，由A1P≤ 5，
则AP= A1P2−A1A2，
所以AP≤1，
即点P在以A为圆心，1为半径的14圆及圆内部，
由题意可知，VA1−PBD=13|AA1|⋅S△PBD，
因为P到BD的最小距离为 2−1，
所以S△PBD的面积的最小值是12×2 2×( 2−1)=2− 2，
所以四面体P−A1BD的体积的最小值是13×(2− 2)×2=4−2 23．
故选：C．
根据图形，利用线面垂直的判断定理、勾股定理、等体积法以及棱锥的体积公式进行求解．
本题考查几何体体积的计算，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由ω=−12+ 32i，得|ω|= (−12)2+( 32)2=1，故A正确；
ω⋅ω−=(−12+ 32i)(−12− 32i)=(−12)2−( 32i)2=14+34=1，故B正确；
ω2=(−12+ 32i)2=14− 32i−34=−12− 32i，
ω3=ω2⋅ω=(−12− 32i)(−12+ 32i)=14+34=1，
则1+ω+ω2=1−12+ 32i−12− 32i=0≠ω3，故C错误；
由|z−ω|=1，可知z在复平面内对应的点在以(−12, 32)为圆心，以1为半径的圆上，
则|z|的最大值为 (−12)2+( 32)2+1=2，故D正确．
故选：ABD．
由复数代数形式的乘除运算结合复数模的求法逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题意可得f′(x)=(x2+2x−ax+1−a)ex=(x+1)(x+1−a)ex，
对于A，若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
等价于x+1−a≥0在(0,+∞)上恒成立，
则a≤x+1在(0,+∞)上恒成立，则a≤1，故A正确；
对于B，由f′(x)=0，可得x=−1或x=a−1；
当a=0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值，不合题意；
若函数f(x)在x=−1处取得极大值，则在x=−1附近f′(x)的符号从正变为负，
所以a−1>−1，可得a>0，故B错误；
对于C，a=2时，f′(x)=(x+1)(x−1)ex，
当x∈[−2,−1)时，f′(x)>0，即f(x)在[−2,−1)上单调递增，
当x∈(−1,1)时，f′(x)0，即f(x)在(1,2]上单调递增；
因此f(x)在x=−1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
易知f(−1)=4e,f(2)=e2，
所以函数f(x)在闭区间[−2,2]上的最大值为e2，故C正确；
对于D，令f(x)=(x2−ax+1)ex=0，可得x2−ax+1=0，
若函数f(x)在区间(0,a3)上有两个零点，即x2−ax+1=0在区间(0,a3)上有两个实数根；
显然a3>0，即a>0，所以a2>a3；
即可得y=x2−ax+1在(0,a3)上单调递减，此时不可能有两个实数根，故D错误．
故选：AC．
利用导函数f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立转化为y=x+1−a≥0在(0,+∞)上恒成立可判断A正确，利用极值点定义计算可得a>0，可得B错误，根据函数最值定义计算可得C正确，将函数f(x)的零点转化为二次函数零点问题，经分析可得D错误．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：如图，
对于A，因为点O1是△F1AF2的内心，所以F2O1为∠F1F2O1的角平分线，
同理可得F2O2为∠F1F2B的角平分线，
所以∠F1F2O1+∠F1F2O2=π2，即∠O1F2O2=π2，
故△O1O2F2是直角三角形，故A错误；
对于B，设双曲线C的实轴长为2a，焦距为2c，作O1E⊥AF1，作O1F⊥AF2，作O1D⊥x轴，
则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得
|F1D|=12(|AF1|+|AF2|+|F1F2|−2|AF|−2|FF2|)
=12(|F1F2|+|AF1|−|AF2|)=12(2c+2a)=a+c，
所以点D就是双曲线的右顶点M，则O1M⊥x轴．
同理可证O2M⊥x轴，因此M，O1，O2三点共线，故选项B正确；
对于C，由题可得|F1M|=c+a=3+2=5，由选项B分析，可知MO1⊥F1M，
所以F1O1⋅F1M=(F1M+MO1)⋅F1M=F1M⋅F1M+MO1⋅F1M=F1M2=25，
故选项C正确；
对于D，在Rt△O1F2O2中，由射影定理可得r1r2=|O1M||O2M|=|F2M|2=(3−2)2=1，
则由基本不等式可得1r1+2r2≥2 1r1⋅2r2=2 2，当且仅当1r1=2r2，
即r1= 22，r2= 2时等号成立，故选项D错误．
故选：BC．
根据三角形内心的性质可知∠AF2O1=∠F1F2O1，∠BF2O2=∠F1F2O2，故∠F1F2O1+∠F1F2O2=π2，即可判断选项A；设双曲线C的焦距为2c，实轴长为2a，作O1D⊥x轴，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得|F1D|=a+c，从而点D就是双曲线的右顶点M，则O1M⊥x轴．同理可证O2M⊥x轴，即可判断选项B；由|F1M|=5，MO1⊥F1M及数量积的运算即可判断选项C；在Rt△O1F2O2中，由射影定理可求r1r2的值，根据基本不等式即可判断选项D．
本题主要考查双曲线的焦点三角形，属于中档题．
12.【答案】60
【解析】解：由题意知n=6，则二项式(x+2x)6的展开式通项公式为Tr+1=C6r2rx6−2r，r=0，1，…，6，
令6−2r=2，则r=2，
所以x2的系数为C6222=60．
故答案为：60．
根据题意确定n的值，然后写出(x+2x)n的展开式的通项Tr+1=C6r2rx6−2r，令6−2r=2，求解即可．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】54
【解析】解：由等差数列的性质知，a2+2a7+a8a3+a6=2a5+2a7a3+a6=4a6a3+a6=2011，
所以a6a3+a6=511，所以S11S8=11a64(a1+a8)=11a64(a3+a6)=54．
故答案为：54．
根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解即可．
本题主要考查等差数列的前n项和及等差数列的性质，属于中档题．
14.【答案】9
【解析】解：易知直线AB过抛物线的焦点F，
作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，
设∠AFO=θ，
易知AA1=AF，
所以AA1+AFcsθ=p，
即AF(1+csθ)=p，
可得AF=p1+csθ，
同理得BF=p1−csθ，
此时AF⋅BF=p1+csθ⋅p1−csθ=p21−cs2θ=p2sin2θ，
因为抛物线的方程为y2=6x，
所以p=3，
可得AF⋅BF=p2sin2θ≥p2=9，
则AF⋅BF的最小值为9．
故答案为：9．
设∠AFO=θ，利用焦半径公式计算可得AF，BF的表达式，再由三角函数值域计算可得结果．
本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
15.【答案】A=5π6； 2 3．
【解析】解：(1)由正弦定理及(b+ 3c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)，得(b+ 3c)b=(a+c)(a−c)，
整理得b2+c2−a2=− 3bc，
由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=− 3bc2bc=− 32，
因为A∈(0,π)，所以A=5π6．
(2)因为△ABC的面积为1，所以12bcsinA=12bc⋅12=1，即bc=4，
取AB的中点E，连接DE，则DA+DB=2DE=CA，
所以AB⋅(DA+DB)=AB⋅CA=c⋅bcs(π−A)=−bccsA=4× 32=2 3．
(1)利用正弦定理化角为边，结合余弦定理，求解即可；
(2)由三角形的面积公式可得bc=4，再结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4．
【解析】解：(Ⅰ)证明：因为平面ABC⊥平面ACEF，CE⊂平面ACEF，
平面ABC∩平面ACEF=AC，AC⊥CE，
所以CE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
所以CE⊥AB，又BC⊥AB，CE∩BC=C，CE，BC⊂平面BCE，
所以AB⊥平面BCE；
(Ⅱ)如图，过点B作BO⊥AC于点O，则AB⋅BC=BO⋅AC，
在△ABC中，AB= AC2−BC2=2 3，
所以BO=AB⋅BCAC= 3，
得OC= BC2−BO2=1，
过点C作z轴⊥平面ACEF，建立如图空间直角坐标系C−xyz，
设EF=a，则A(0,4,0)，B(0,1, 3)，E(2,0,0)，F(2,a,0)，
所以AF=(2,a−4,0)，BF=(2,a−1,− 3)，EF=(0,a,0)，
设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BF=2x+(a−1)y− 3z=0n⋅EF=ay=0，
令x= 3，则y=0，z=2，
所以n=( 3,0,2)，
所以sinθ=|cs〈AF,n〉|=|AF⋅n||AF||n|=2 3 22+(a−4)2⋅ 7= 217，
解得a=4，即EF=4．
(Ⅰ)根据面面垂直的性质可得CE⊥平面ABC，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，设EF=a，利用空间向量法求出平面BEF的法向量，求出线面角，建立关于a的方程，解之即可求解．
本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】x23+y22=1； (i)证明过程请见解答；(ii)9 216．
【解析】(1)解：由题意知，c=1ca= 33b2=a2−c2，解得a= 3，b= 2，
故E的方程为x23+y22=1．
(2)(i)证明：设直线AB的方程为y=k(x−3)，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−3)2x2+3y2=6，得(2+3k2)x2−18k2x+27k2−6=0，
所以x1+x2=18k22+3k2，x1x2=27k2−62+3k2，Δ=324k2−4(2+3k2)(27k2−6)=−48(3k2−1)>0，即k2