广东省汕头市2025~2026学年高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省汕头市2025~2026学年高三上学期9月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了 已知集合，则， 我们约定， 若，且，则等内容，欢迎下载使用。
1. i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（ ）
A. 4B. C. D.
4. 下列区间中，函数不单调的区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示为某函数的部分大致图象，则该函数的解析式可能为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 2
7. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3D.
8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ）
A. B.
C 平面平面D. 平面平面
10. 若，且，则（ ）
A. B. 展开式中系数最大
C. D.
11. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）.
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 曲线在处的切线方程为______．
13. 已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.
14. 已知随机变量，设函数，若曲线的对称中心为，则______．
四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：
（1）根据小概率值独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系；
（2）现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望．
附：
16. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求的通项公式，并证明为等差数列；
（3）若，求.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）证明：的面积为定值；
（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
19. 已知函数处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
广东省汕头市2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】由，
可得：，
所以.
故选：B
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论.
【详解】根据题意，原式，移项得，即，
所以，解得，即，
所以.
故选：B.
3. 已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线焦点是双曲线的右顶点，可求得，进而可求得，代入离心率公式即可求解.
【详解】由题意，得抛物线的焦点坐标是，则在双曲线中，.
又因为在双曲线中，，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
4. 下列区间中，函数不单调的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质分别求出的递增区间和递减区间，再判断各项对应区间是否单调，即可得.
【详解】由，，得，，
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
由，，得，，
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，
所以区间不单调.
故选：B
5. 如图所示为某函数的部分大致图象，则该函数的解析式可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数，从而即可排除选项A；再根据函数的值域即可排除选项C；再取一些特殊点的函数值比较即可排除选项D；进而即可得到答案．
【详解】因为图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数，
对于选项A，由函数为奇函数，为偶函数，即为奇函数，故A错误；
对于选项C，又，，则恒成立，故C错误；
对于选项D，当，；当，，显然与图象不符，故D错误．
故选：B．
6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长.
【详解】由题设即，
令得，所以直线过定点，
而即，
所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3，
所以定点与圆心的距离，
要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时.
故选：D
7. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可.
【详解】设，如图，
因为，
所以,
即，解得，
所以，
，
故选：A
8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可.
【详解】，则，
令，则，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，且，
令，则或，令，则，
所以上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
对于A，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，，
当或时，，当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；
对于D，，
则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ）
A. B.
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误；
由题得，，，
所以，所以，B正确；
因为平面，平面，，
且在平面与平面的交线上，与不垂直，
所以平面与平面不垂直，C错误；
因为是正三角形，是的中点，所以，
又，且，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，D正确．
故选：BD.
10. 若，且，则（ ）
A. B. 展开式中的系数最大
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法求解可判断AC，利用二项展开式的通项求解可判断BD.
【详解】令，则，解得，所以A正确；
，
展开式的通项为，，
可知均大于0，均小于0，
的系数是负数，肯定不是最大值，所以B不正确；
在中，令，得，所以C正确；
令，得，所以，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合正弦定理、两角和的正弦公式及二倍角公式化简可得或，进而结合为锐角三角形，讨论求解即可.
【详解】由，则，
则，
根据正弦定理得，，
则，所以或.
当时，，
因为为锐角三角形，
则，解得，
则；
当时，由，则，即，此时条件中的分母为0，表达式无意义，故舍去.
综上所述，的取值范围为.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可.
详解】记，，，又，
曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：
13. 已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】依题意只需数列单调递增且满足，，即可得解.
【详解】解：令，则数列单调递增，且，，，，，，
所以，，，，即，
当时，即，
所以，所以是中唯一的最小项，故符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
14. 已知随机变量，设函数，若曲线的对称中心为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由的对称中心为得，进而得，再由正态分布的性质解得.
【详解】因为曲线的对称中心为，所以，
又，
则，所以，
即，又，所以，解得．
故答案为：3.
四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系；
（2）现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望．
附：
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断.
(2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望.
【小问1详解】
解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关.
由题知.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于.
【小问2详解】
由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为,
以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为，
即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为
为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为,
且，故.
则的分布列如下
故的数学期望.
16. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求的通项公式，并证明为等差数列；
（3）若，求.
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令即可求解；
（2）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；
（3）由裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
令可得：，
即
【小问2详解】
由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为，
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
【小问3详解】
由（2）知，当时，
，
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值.
【小问1详解】
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
【小问2详解】
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）证明：的面积为定值；
（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组即可求出的方程.
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证.
（3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，即，
由点在上，得，联立解得，
所以的方程为.
【小问2详解】
设，则，
由消去并整理得，
，，
，
所以的面积为定值.
【小问3详解】
由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为，
当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，，
当时，由共线，得，即，
整理得，而
，当且仅当时取等号，，
所以直线在轴上的截距的最小值为.
19. 已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先对求导，根据在处有极大值，得到，解出的可能值.再分别代入的值，分析的单调性，判断是极大值点还是极小值点，从而确定的值.
（2）由的值得到表达式，对求导.因为单调递增，所以恒成立.化简不等式，求出的最小值，进而得到关于的不等式，结合的取值范围求出的取值范围.
【小问1详解】
首先对求导，可得：
.
因在处有极大值，所以，即，解得或.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极小值点，不符合题意，舍去.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极大值点，符合题意.
综上，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，其定义域为.
对求导可得：
.
因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化简不等式可得：，，即
令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，.
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，则.
当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样.
那么在上恒成立，即.
因为，所以，则，解得.
是否合并其他超声异常
染色体是否异常
不合并
合并
合计
正常
72
6
78
异常
3
19
22
合计
75
25
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是否合并其他超声异常
染色体是否异常
不合并
合并
合计
正常
72
6
78
异常
3
19
22
合计
75
25
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3