湖南省株洲市南方中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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1. 下列说法正确的是（ ）
A. 由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4}
B. 满足构成的集合是
C. 全体实数构成的集合是{x|x是实数}
D. 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 若a＞b，c＞d，则（ ）
A. B. a－c＞b－d
C. a－d＞b－cD. ac＞bd
7. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
8. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）．
9. 下列四个关系中错误是（ ）
A. B. C. D. 空集
10. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A B. C. 0D. 1
11. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（ ）
A. 关于数的乘法构成群
B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群
D. 关于数的加法构成群
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）．
12. 已知集合，，则__________________
13. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为_______钱；
14. 若对任意恒成立，则实数的取值集合为______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15. 已知集合，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知，.
（1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17. 如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.

（1）试找出与之间的不等量关系式；
（2）求矩形和矩形面积之和的最大值.
18. 已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”.
（1）若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合 具有性质，证明: 集合是集合“期待子集”；
（3）已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件.
19. 已知实数，，满足.
（1）求证：.
（2）将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值.
（3）继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？