湖南省株洲世纪星高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份湖南省株洲世纪星高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 集合的真子集个数是， 已知集合，，则， 下面选项判断错误的有等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共4页， 19题， 全卷满分: 150分， 考试时间: 120分钟）
注意事项:1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答： 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，试题卷自行妥善保管，答题卡统一上交.
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是（ ）
A. ∀x∈R，x2+2x+2＞0B. ∀x∈R，x2+2x+2≥0
C. ∃x0∈R，x02+2x0+2＜0D. ∃x∈R，x02+2x0+2＞0
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
故选A．
2. 集合，，则图中阴影部分表示集合为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】图中阴影部分表示为，因为，所以，故选.
3. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对集合和化为统一的形式，再进行比较.
【详解】解：
对于集合：，
对于集合：，
是奇数，是整数，
故选：
【点睛】本题考查集合之间的关系，属于基础题.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最小值是5D. 若，则的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式适用的条件“一正二定三相等”依次讨论各选项即可求得答案．
【详解】对于A选项，时，，当且仅当即时取等号，A正确；
对于B选项，当时，单调递增，故，没有最小值，B错误；
对于C选项，可得，，即最大值为1，
没有最小值，C错误；
对于D选项，，不是定值，D不正确.
故选：A.
5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A：，若有，故，A错误；
B：，若有，又，故，B错误；
C：若，则，C错误；
D：，故，D正确.
故选：D
6. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；
{（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立；
由集合的性质知③④正确．
故选C．
7. 集合的真子集个数是
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合中元素的个数，由此求得其真子集的个数.
【详解】依题意共有个元素，故真子集个数为.故选C.
【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合真子集个数的计算，属于基础题.
8. 2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为（），则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算平均速度，再计算得到答案.
【详解】设两码头距离为，则
即
故选C
【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
先解方程组得，再根据集合的运算即可得答案.
【详解】解：根据题意解方程组得，
所以.
故选：CD.
10. 下面选项判断错误的有（ ）
A. 成立的条件是
B. 若，则的最小值为
C. 函数的最小值等于；
D. 函数的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，可判定A不正确；由，可判定B不正确；根据基本不等式，可判定C不正确，D正确.
【详解】对于A中，由，
所以对于任意实数，都有成立，所以A不正确；
对于B中，若，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
所以B不正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即，此时不成立，
所以的最小值不等于，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以. 函数的最大值为，所以D正确.
故选：ABC.
11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D.
【详解】由正数满足，可得，解得，即，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
由正数满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确；
，由A知，
由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误；
由可得，即，所以，
所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由并集的性质及，，可得的值.
【详解】解：由，，
可得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查并集的概念，考查学生对基础概念的理解，属于基础题.
13. 已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将代入进行整体代换和合理拆项得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出的取值范围.
【详解】解：由题意知，两个正数，满足，则，
则，
当时取等号，∴的最小值是，
∵不等式恒成立，∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.
14. 若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，
又，或，
因此或，解得或
所以实数a的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
小问1详解】
由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
【小问2详解】
若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
16. 已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数取值范围为；
【小问2详解】
∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）当时，求；
（2）若______，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）条件选择见解析，.
【解析】
【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；
(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.
小问1详解】
由题意得，．
当时，，
∴；
【小问2详解】
选择①．
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
选择②
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
选择③
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
18. 已知实数、满足：.
（1）求和的最大值；
（2）求的最小值和最大值.
【答案】（1）；
（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；
（2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.
【小问1详解】
∵，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；
【小问2详解】
∵，∴，
∵，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为，
又，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，
∴的最大值为.
19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
（1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
（2）求的函数解析式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】（1）18 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可.
【小问1详解】
宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以值为18.
【小问2详解】
设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
【小问3详解】
对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.