2026长沙一中高三上学期第一次（9月）月考数学试题含解析

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时量:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
3. 从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由组合分别求出随机选取两个数字的情况数和乘积为奇数的情况数，再由古典概型求得结果.
【详解】从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有种，
要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有种，
所以概率为.
故选：A.
4. 函数是
A. 奇函数，且最大值为2B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为D. 偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
5. 已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断.
【详解】函数的定义域为，
由是偶函数，得，
即，得函数的图象关于对称
由为奇函数，得，
得函数的图象关于点对称，所以，
由，令，得，故A项正确；
由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误；
由，令，得，
由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误．
故选：A
6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）

A. 2B. 9C. 10D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】因为是的中点，所以.
因为，所以.
由于三点共线，所以可以表示为的线性组合，
即.
所以，即.
因为，所以.
当且仅当时，即时等号成立.
由于，所以解得，此时最小值为9.
故选：B.
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项.
【详解】圆的标准方程为，半径，
当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，
故有，解得，即的最大值为，
故选：D.
8. 已知实数满足，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，求得，得到函数单调性，根据题意，得到且，结合单调性，即可求解.
【详解】设函数，其定义域为，且，
当时，可得，在上单调递增；
当时，可得，在上单调递减，
因为，
可得，
即且，
所以且，所以.
故选：D.
9. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项.
【详解】对于，，故正确；
对于，
，故错误；
对于，，
，，
，
故正确；
对于，，故正确.
故选：
10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若，则
C. 的最大值为16
D. 为钝角
【答案】BD
【解析】
【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及由数量积的坐标表示求解判断CD.
【详解】如图：
对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误；
对于B，，而，则，B正确；
显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得，
则，，，
对于C，，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，，则为钝角，D正确.
故选：BD
11. 记的内角，，的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，利用正弦定理边角转化后可得其正误，对于C，结合特例及余弦定理可判断其正误，对于D，根据中线向量及余弦定理可判断为钝角，故可判断正误.
【详解】
对于A，由正弦定理可得，故，
而为三角形内角，故为直角，故是等腰三角形，故A正确；
对于B，因为，由正弦定理得，
故是直角三角形，故B正确；
对于C，取，则，，
因为，故存在，故存在，
此时由余弦定理得，故三角形内角为钝角，
故是钝角三角形，故C错误；
对于C，因为，故，
故，
由余弦定理可得，
故，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
12. 知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项．
【答案】4
【解析】
【分析】利用作差法比较判断数列的单调性，再找出其最大项即可.
【详解】解法一：∵，
∴当时，；当时，，
即，故数列的最大项为第4项．
解法二：设数列中的最大项为，则
即解得．
∵，∴．故数列的最大项为第4项．
【点睛】思路点睛：（1）利用数列的单调性求最大项或最小项；
（2）求数列中的最大项，只需满足求数列中的最小项，只需满足
13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
14. 已知5件产品中2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则__________．
【答案】##3.5
【解析】
【分析】确定变量的可能的值，求出每个值对应的概率，根据期望公式可得答案.
【详解】由题意可知，
则 ，
，
因此 ，
故答案为：
四、解答题(本大题共5个小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，.
【答案】（1）与性别有关联
（2），意义见解析
【解析】
【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论；
（2）根据条件概率的计算公式求解即可.
【小问1详解】
零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.
根据列联表中的数据得，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联.
【小问2详解】
依题意得，， ， 则
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析．
（2）存在，．
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理得证线面平行；
（2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距后结合已知可得结果．
【小问1详解】
取中点，如图，连接，
∵是中点，∴且，
又，，
∴且，
∴是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
∵，，，∴，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，
因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
，
∴点到平面距离为，（舍去），
所以．
17. 已知数列的前n项和为其中c为常数.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列.
（Ⅰ）若设,求数列的前n项和
（Ⅱ）若数列的前n项和为且求证：
【答案】（1）当时，，
当时，
（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用即可求解；
（2）（Ⅰ）由已知有，进而得，令，利用等比数列前项求和公式即可求解；
（Ⅱ）由，利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
由题意有：当时，，
当时，由有，
所以，
当时，，
所以当时，，
当时，；
【小问2详解】
（Ⅰ）由数列 为等差数列，所以，所以，
所以，故当时，有，
而也符合上式，故，
所以数列是等比数列，所以；
（Ⅱ）由，
所以，
所以①，
所以②，
由①②有：，
所以，即.
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点.
（Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标；
（Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）；.
【解析】
【分析】（1）根据题意，已知椭圆的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为和离心率建立的等式，求出，从而得到椭圆方程；
（2）（Ⅰ）先求的直线方程，结合图象，过作平行的直线且与椭圆相切时的切点为，此时的的面积最大.设出过且与平行的直线方程，此方程与椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，此时，可求出参数的值，进而得到的坐标；
（Ⅱ）设代入椭圆得到的等式，又是第三象限的点可以得到，由和的坐标得到直线的方程，从而求出的坐标；由和的坐标得到直线的方程，从而求出的坐标.求和的长度，进而求出四边形的面积，利用三角还原得到的面积的最大值.
【小问1详解】
已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为，
，离心率为 ，，又，解得，，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
（Ⅰ）设直线的直线方程为：，
代入，得到，解得，
直线的直线方程为，
点是椭圆上且在第三象限内的一点，
过作直线且与椭圆相切，切点为，此时的面积取最大值.
设过的直线的方程为，
直线与椭圆联立方程组，
消去，得到关于的一元二次方程，
直线与椭圆相切，，，，
是第三象限的点，，
此时的解为，
代入直线方程为，得到，
.
（Ⅱ）设， 是第三象限的点，，
将代入椭圆中得到，整理得.
，，，直线的方程为，
令，解得，.
，，，直线的方程为，
令，解得，.
，，设四边形面积为，，
设，，，
，
设，，，
，当时，，
即时，也即，时，
四边形的面积的最大值为.

19. 已知函数
（1）若恒成立，求实数a的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；
（3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）24.
【解析】
【分析】（1）将不等式变形为，构造函数并求出最大值，进而列式求出值.
（2）求出函数，求出导函数的零点，再变形所证不等式并构造函数，利用导数借助单调性证得不等式.
（3）利用（2）的信息证得，再构造函数，利用导数证得即可求出值.
【小问1详解】
函数，恒成立，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，由，得，即，因此，解得，
所以实数a的取值集合是.
【小问2详解】
由（1）知，，，函数的定义域为，
求导得，由，解得，
要证，即证，只证，
，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
，函数在上单调递减，，
而，因此，
所以
【小问3详解】
由（2）得函数在上单调递减，当时，，
由，得，则，
令函数，求导得，函数在上递减，
，函数在上单调递增，，
因此，即，从而，
又正整数n满足不等式，则，
所以.
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