湖北省荆州市沙市区湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份湖北省荆州市沙市区湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
→
→→
1 已知 a  2,1 ， b  1, 2 ，若(a+λb )//(3a-b ) ，则λ （）

112
B.C.
333
D.  2
3
若复数 z 满足1  2i z  4  3i ，则 z 的实部为（）
B. －1C. 2D. －2
1
π
，则这个圆锥的体积为（）
若圆锥的底面圆半径为 2 ，其侧面展开图的面积为 2
3 π
3
3 π
12
3 π
6
3 π
24
设m ， n 是两条不同的直线，α， β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
若m / /α， n//α，则 m//nB. 若 m / /β， n  β，则 m//n
C. 若 m//n ， n//α，则m / /αD. 若α//β， n   ，则 n//β
一组不全相等的数据 x1, x2 ,L, xn (n  4) ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）
A 极差B. 中位数C. 平均数D. 众数

–––→–––→–––→
如图，在等腰V ABC 中， AB  AC  5, BC  6 ，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP  AB  AC
（）
为定值 16B. 为定值 32
C. 最大值为 32D. 与 P 的位置有关
在V ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且2b cs C  2c cs B  a2 ，
a cs C 3a sin C  b  c ，O 为V ABC 的外心，则OB  OC 的值为（ ）
 2 3
3
2 3
3
 2D. 2
33
如图，某电子元件由A ， B ， C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试， A ， B ，
111
C 三种部件不能正常工作的概率分别为 5 ， 4 ， 3 ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（）
187
A.B.
2525
6411
C.D.
7575
二、多选题
下列说法正确的有（）
随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；
连续 10 次掷一枚骰子，结果都是出现 1 点，可以认为这枚骰子质地不均匀；
1
某种福利彩票的中奖概率为
1000
，那么买 1000 张这种彩票一定能中奖；
某市气象台预报“明天本市降水概率为 70%”，指的是：该市气象台专家中，有 70%认为明天会降水， 30%认为不降水．
下列说法中正确的是（）
用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，则个体m 被抽到的概率是
12%
从装有3 个红球， 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，事件 A  “至少有2 个红球”，事件 B  “都是白球”，则事件A 与事件 B 是对立事件
数据13, 27, 24,12,14, 30,15,17,19, 23 的第 70 百分位数是 23.5
若样本数据 x1, x2 ,L, x10 的标准差为 1，则数据3x1 1, 3x2 1,L, 3x10 1的标准差为 9
如图，棱长为 2的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E 为棱 DD1 的中点，F 为正方形C1CDD1 ，内一个动点（包括边界），且 B1F / / 平面 A1BE ，则下列说法正确的有（ ）
2
动点 F 轨迹的长度为
直线 B1F 与 A1B 不可能垂直
当三棱锥 B  D DF 的体积最小时，直线 B F 与 A B 所成角的余弦值为 10
111110
当三棱锥 B  D DF 的体积最大时，其外接球的表面积为 25 π
11
三、填空题
→
2
→→→
已知 a  2, 1, 3 ， b  1, 4, 2 ， c  3, 2,λ ，若 a, b, c 三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数λ等于．
已知三棱锥 P  ABC ，如图所示， G 为V ABC 重心，点 M ， F 为 PG ， PC 中点，点 D ， E 分别
在 PA ， PB 上， PD  mPA ， PE  nPB mn  0 ，若 M，D，E，F 四点共面，则 1  1 
mn
．
设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，记 A, B 为事件 A，B 的对立事件，且
P  A  0.6, P B  0.3, P  AB  AB  0.5 ，则 P  AB =
四、解答题
近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数
BMI  体重(kg)
身高2 m2 
衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的 BMI 数值标准是： BMI  18.5 为偏瘦；
18.5  BMI  24 为正常；24  BMI  28 为偏胖；BMI  28 为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了 100 名居民体检数据，将其 BMI 值分成以下五组：[12,16) ，[16, 20) ，[20, 24) ，[24, 28) ，[28, 32]，得到相应的频率分布直方图.
求频率分布直方图中 a 的值，并估计该社区居民 BMI 值的样本数据的80% 分位数；
现从样本中利用分层随机抽样的方法从[16, 20) ，[24, 28) 这两组中抽取 6 名居民，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组的概率.
已知在锐角V ABC 中， sin A  2 sin 2C  sin(B  C) ， D 为 BC 边上一点，且 AD 平分∠BAC ．
CD
求
的值；
DB
若cs BAC  1 ，求 AD 的值．
4BC
如图，在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AB  AA1  6 ， D 是 AB 的中点.
证明： BC1 / / 平面 A1CD .
求点C1 到平面 A1CD 的距离.
科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的 DeepSeek 培训，培训前需要面试，面试时共有 3 道题目，答对 2 道题则通过面试（前 2 道题
3
都答对或都答错，第 3 道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为
4
2 2 1
，小华答对每道题目的
概率依次为
, ,
3 3 2
，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答 2 道题就结束面试”
为事件A ，记“小华 3 道题都回答且通过面试”为事件 B ．
求事件A 发生的概率 P  A ；
求事件A 和事件 B 同时发生的概率 P  AB ；
求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线，以 BD 为折痕将△BCD 折起，使点C 到达点 P 的位置.
若 BP  AP ，证明：平面 PAB  平面 ABCD .
若 AB  4, AD  2 ，二面角 P  BD  C 的大小为 π ，求直线 BP 与平面 PAD 所成角的正弦值.
3
2025—2026 学年度上学期 2024 级
9 月月考数学试卷
一、单选题
→
命题人：时舜
→→
已知 a  2,1 ， b  1, 2 ，若(a+λb )//(3a-b ) ，则λ （）
1
3
【答案】B
【解析】
 1C. 2
33
D.  2
3
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出 a  λb 和3a  b ，再由向量共线的坐标表示列方程求解.
→→→
【详解】由 a  2,1 ， b  1, 2 ，得 a  λb  2  λ,1 2λ ， 3a  b  5, 5 ，
若 →→，则52  λ  51 2λ ，解得λ  1 .
(a+λb )//(3a-b )3
故选：B.
若复数 z 满足1  2i z  4  3i ，则 z 的实部为（）
B. －1C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】先用除法运算得出复数 z ，写出它的共轭复数 z 即可找出 z 的实部.
【详解】因为1  2i z  4  3i ，
所以 z  4  3i  4  3i1 2i  10  5i  2  i ，
1 2i1 2i1 2i5
所以 z  2  i ，
所以 z 的实部为 2，故选：C.
1
π
，则这个圆锥的体积为（）
若圆锥的底面圆半径为 2 ，其侧面展开图的面积为 2
3 π
3
3 π
12
3 π
6
3 π
24
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆锥的侧面积公式求圆锥的母线长，再求圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解.
【详解】设圆锥的母线长为l ，
则有 1  l  π  π ，所以l  1 ，
22
于是圆锥的高为 h 
1
3 ，
2
 1 233
32
该圆锥的体积为：  π  
2
π .
24
故选：D
设m ， n 是两条不同的直线，α， β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
若m / /α， n//α，则 m//nB. 若 m / /β， n  β，则 m//n
C. 若 m//n ， n//α，则m / /αD. 若α//β， n   ，则 n//β
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断线性、线面的位置关系即可.
【详解】A：若m / /α， n//α，则 m, n 平行、相交或异面，故 A 错；
B：若 m / /β， n  β，则 m, n 平行或异面，故 B 错； C：若 m//n ， n//α，则m / /α或 m α，故 C 错；
D：若α//β， n   ，由面面平行的定义和线面平行的定义可知 n//β，故 D 对. 故选：D
一组不全相等的数据 x1, x2 ,L, xn (n  4) ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）
A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误.
【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，
A 错误；
B，中位数不一定改变，如原数据为 1，2，2，3，中位数为 2，去掉 3 后，数据为 1，2，2，中位数还是
2，B 错误；
C，设原平均数为 S  x1  x2 L xn ，
n
假设去掉最大值 x 后平均数不变，则 x1  x2 L xn1  S ，
n
所以 S  nS  xn ，解得 S  x ，
n 1
n 1n
由原数据不全相等，可得 S  xn ，矛盾，所以平均数一定改变，C 正确；
D，众数不一定改变，如数据为 2，2，3，4，众数为 2，去掉 4 后，众数仍为 2，D 错误．
故选：C
–––→–––→–––→
如图，在等腰V ABC 中， AB  AC  5, BC  6 ，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP   AB  AC 
（）
为定值 16B. 为定值 32
C. 最大值为 32D. 与 P 的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】取 BC 的中点为 D ，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，取 BC 的中点为 D ，连接 AD ，
因为V ABC 为等腰三角形，所以 AD  BC ，又 AB  AC  5, BC  6 ，
52  32
所以 AD  4 .

–––→–––→–––→–––→ –––→–––→ –––→–––→ 2
所以 AP  AB  AC  2 AP  AD  2 AP · AD cs PAD  2 AD

–––→–––→–––→
所以 AP  AB  AC 为定值 32.
 32 .
故选： B .
在aABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且2b cs C  2c cs B  a2 ，
a cs C 3a sin C  b  c ，O 为aABC 的外心，则OB  OC 的值为（ ）
 2 3
3
2 3
3
 2D. 2
33
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可.
【详解】∵ 2b cs C  2c cs B  a2 ，由正弦定理，得2 sin B cs C  2 sin C cs B  a sin A ，
即2 sin  B  C   a sin A， 2 sin π  A  a sin A， 2 sin A  a sin A ，
而sin A  0 ，所以 a  2 ，
∵ a cs C 3a sin C  b  c ，
由正弦定理，得sin A cs C 
3 sin Asin C  sin  A  C   sin C ，
∴ 3 sin Asin C  cs Asin C  sin C ，而sin C  0 ，
π 
6
∴ 3 sin A  cs A  1，∴ 2 sin  A    1 ，

A  π   π 5π πππ
因为 A 0, π ，所以， ， A   ，∴ A  ．
6
66 663
设aABC 的外接圆半径为 R ，则
2R 
a
sin A
2  43
33，
2
∴ R  23 ，而BOC  2π ，
3
–––→ –––→
3

22π4 1 2
∴ OB  OC  R
cs
3
 3   2    3 ，
故选：C
如图，某电子元件由A ， B ， C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试， A ， B ，
111
C 三种部件不能正常工作的概率分别为 5 ， 4 ， 3 ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（）
187
A.B.
2525
6411
C.D.
7575
【答案】C
【解析】
【分析】设上半部分正常工作为事件 M ，下半部分正常工作为事件 N ，该电子元件能正常工作为事件 A ，根据相互独立事件的概率公式求出 P M  、 P  N  ，即可求出 P M  、 P N ，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得.
【详解】设上半部分正常工作为事件 M ，下半部分正常工作为事件 N ，该电子元件能正常工作为事件A ，
则 P M   1 1 1 1   3 ， P M   1 P M   1 3  2 ，
5  
4 555
 
P  N   1 1  1 1 1   19 ，所以 P N   1 P  N   1 19  11 ，
54  
3 30
3030
 
 
所以 P  A  1 P M P N  1 2  11  64 ，
53075
64
即该电子元件能正常工作的概率是.
75
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出
P  A  1 P M  P N  .
二、多选题
下列说法正确的有（）
随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；
连续 10 次掷一枚骰子，结果都是出现 1 点，可以认为这枚骰子质地不均匀；
1
某种福利彩票的中奖概率为，那么买 1000 张这种彩票一定能中奖；
1000
某市气象台预报“明天本市降水概率为 70%”，指的是：该市气象台专家中，有 70%认为明天会降水， 30%认为不降水．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项．
【详解】对于 A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故 A 正确；
对于 B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现 1 点可以认定这枚骰子质地不均
匀，故 B 正确．
对于 C，中奖概率为奖，故 C 错误．
1
1000
是指买一次彩票，可能中奖的概率为
1
1000
，不是指 1000 张这种彩票一定能中
对于 D，“明天本市降水概率为 70%”，指下雨的可能性为 0.7，故 D 错误．
故选：AB．
下列说法中正确的是（）
用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，则个体m 被抽到的概率是
12%
从装有3 个红球， 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，事件 A  “至少有2 个红球”，事件 B  “都是白球”，则事件A 与事件 B 是对立事件
数据13, 27, 24,12,14, 30,15,17,19, 23 的第 70 百分位数是 23.5
若样本数据 x1, x2 ,L, x10 的标准差为 1，则数据3x1 1, 3x2 1,L, 3x10 1的标准差为 9
【答案】AC
【解析】
【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D，先得到x1 ， x2 ，L ， x10 的方差，再通过计算
3x1 1, 3x2 1,L, 3x10 1的方差，进而得到其标准差，即可得答案．
【详解】对于 A．用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 6 的样本，
则个体m 被抽到的概率为 6
50
 0.12 ，正确；
对于 B．从装有3 个红球， 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，有 3 个都是红球，1 个红球 2 个白球， 2 个红球 1 个白球，3 个都是白球，共 4 种情况，
显然事件 A  “至少有2 个红球”，事件 B  “都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误；对于 C．从小到大排列为 12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于10  0.7  7 ，故选择第 7 和第 8 个数的平均数作为第 70 百分位数，
即 23  24  23.5 ，所以第 70 百分位数是 23.5，C 正确；
2
对于 D．若样本数据x1 ， x2 ，L ， x10 的标准差为 1，则x1 ， x2 ，L ， x10 的方差为 1，
设x1 ， x2 ，L ， x10 的平均数为 x ，则 x1  x2 L x10  10x ，
1 [(x  x )2  (x  x )2 L (x  x )2 ]  1，
101210
又 3x1  1  3x2  1 L 3x10  1  3(x1  x2 L x10 )  10  3x  1，
1010
(3x  1  3x  1)2 L (3x  1  3x  1)29[(x  x )2 L (x  x )2 ]
故 110  110  9 ，
1010
9
则3x1 1, 3x2 1,L, 3x10 1的标准差为
 3 ，D 错误．
故选：AC．
如图，棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E 为棱 DD1 的中点，F 为正方形C1CDD1 ，内一个动点（包括边界），且 B1F / / 平面 A1BE ，则下列说法正确的有（ ）
2
动点 F 轨迹的长度为
直线 B1F 与 A1B 不可能垂直
当三棱锥 B  D DF 的体积最小时，直线 B F 与 A B 所成角的余弦值为 10
111110
当三棱锥 B  D DF 的体积最大时，其外接球的表面积为 25 π
112
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A 由 B1F / / 平面 A1BE ，联想到存在一个过 B1F 的平面与平面 A1BE 平行，利用正方体特征找到平面 B1MN / / 平面 BA1E ,进而得到 F 的轨迹为线段 MN ，对 B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即
1
可，对 C，由 S△D DF 最小时，体积最小，得到B1NM 为异面直线所成角，即可求解；对 D，利用勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】对 A，如图，令CC1 中点为 M , CD1 中点为 N ,连接 MN ，
又正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E 为棱 DD1 的中点，可得 B1M / / A1E , MN / /CD1 / / BA1 ，
 B1M / / 平面 BA1E , MN / / 平面 BA1E ,又 B1M ∩ MN  M ，且 B1M , MN  平面 B1MN ，平面 B1MN / / 平面 BA1E ,
又 B1F / / 平面 A1BE ，且 B1 平面 B1MN ， B1F  平面 B1MN ，又 F 为正方形C1CDD1 内一个动点（包括边界），
 F 平面 B1MN ∩ 平面C1CDD1 ，而 MN  平面 B1MN ∩ 平面C1CDD1 ，
 F  MN ，即 F 的轨迹为线段 MN .
2
由棱长为 2 的正方体得线段 MN 的长度为
，故选项 A 正确；
对 B，由 B1M  B1N 可知三角形 B1MN 为等腰三角形，
当 F 为线段 MN 中点时，由 B1M  B1 N 可得 B1F  MN ,又CC1 中点为 M , CD1 中点为 N ,
 MN / / D1C ，而 A1B / / D1C ， B1F  A1B ,故选项 B 不正确；
对 C，由侧棱 B C  底面C CDD ，所以三棱锥 B  D DF 体积为V  1 B C  S
 2 S，
1 11111
3 1 1
△D1DF
3 △D1DF
所以 S△D DF 最小时，体积最小，∵ F  MN ，可得 F 在 N 处时 S△D DF 最小，
11
由 MN ∥CD1 ∥ A1B 知此时 B1F 与 A1B 所成角为B1NM ，等腰三角形 B1MN 中，
MN2
1
cs B NM  2  2 
10 ，故选项 C 正确；
B1N510
对 D，同理可得当 F 在 M 处时，三棱锥 B1  D1DF 的体积最大，
5
由已知得此时 FD  FD1  FB1 ，所以 F 在底面 B1DD1 的射影为底面外心， DD1  2 ，
2
3
B1D1  2， DB1  2，
由勾股定理易知底面 B1DD1 为直角三角形，所以 F 在底面 B1DD1 的射影为 B1D 中点，设为O1 ，
2
如图，设外接球半径为 R ，由 R2  OO2  O B2  OO2  3 ， R  OO  FO ，可得外接球半径
5 2
4
R ，
11 1111
外接球的表面积为4πR2  25 π ，故选项 D 正确．
2
故选：ACD
三、填空题
→
→→→
已知 a  2, 1, 3 ， b  1, 4, 2 ， c  3, 2,λ ，若 a, b, c 三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数λ等于．
【答案】4
【解析】
→→→→
【分析】因为a, b, c 三个向量不能作为空间向量的一组基，所以a, b, c 共面，由向量共面的条件求解即可.
→→
【详解】因为a, b, c 三个向量不能作为空间向量的一组基，
→→
所以a, b, c 共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基），
cxa
则存在 x, y  R ，使得 →  →  yb ，即3, 2,λ  2x  y, x  4 y, 3x  2 y  ，
2x  y  3x  2
所以x  4 y  2 ,解得 y  1 .


3x  2 y  λ
故答案为：4


λ 4
已知三棱锥 P  ABC ，如图所示， G 为V ABC 重心，点 M ， F 为 PG ， PC 中点，点 D ， E 分别
在 PA ， PB 上， PD  mPA ， PE  nPB mn  0 ，若 M，D，E，F 四点共面，则 1  1 
mn
．
【答案】4
【解析】
–––→––––→
3
1 –––→–––→–––→
––––→
1 –––→
1 –––→
1 –––→
【分析】先得到 PG  2PM 
面的充要条件即可求解.
【详解】如图所示：
PA  PB  PC ，进一步有 PM 
PD 
6m6n
PE 
PF ，结合四点共
3
设 BC 中点为 H ，连接 AH , AM ，因为点 G 为V ABC 重心，
所以点G 在线段 AH 上面，
–––→–––→–––→–––→2 –––→–––→21 –––→–––→
因为 PG  PA  AG  PA 
AH  PA  
332
 AB  AC 

–––→1 –––→–––→–––→–––→1 –––→1 –––→1 –––→
 PA  AP  PB  AP  PC  PA  PB  PC ，
3333
–––→––––→1 –––→–––→–––→1  1 –––→1 –––→–––→ 
所以 PG  2PM PA  PB  PC  PD  PE  2PF  ，
33  mn
––––→
所以 PM 
1 –––→
PD 
6m
1 –––→
PE 
6n
1 –––→
PF ，
3
11111
若 M，D，E，F 四点共面，则  1，解得   4 ，
6m6n3mn
故答案为：4.
设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，记 A, B 为事件 A，B 的对立事件，且
P  A  0.6, P B  0.3, P  AB  AB  0.5 ，则 P  AB =
3
【答案】0.3##
10
【解析】
【 分 析 】 先 求 出
P  B  0.7 ， 根 据 AB ∩ AB   得 到
P  AB  P  AB   0.5 ， 结 合
P  B  P  AB  P  AB  0.7 ，
P  AB  P  B  P  AB  0.3 .
P  A  P  AB  P  AB   0.6 求 出
P  AB  0.4 ， 从 而 得 到
【详解】由题意得 P  B  1 P B  0.7 ， AB, AB 为互斥事件，即 AB ∩ AB   ，
P  AB  AB   P  AB  P  AB   P  AB  AB   P  AB  P  AB   0.5 ，又 P  B  P  AB  P  AB  0.7 ①， P  A  P  AB  P  AB   0.6 ②， 式子①②相加得2P  AB  P  AB  P  AB   1.3 ，
故2P  AB  1.3  P  AB  P  AB   0.8 ，
所以 P  AB  0.4 ，则 P  AB  P  B  P  AB  0.7  0.4  0.3 .
故答案为：0.3
【点睛】若事件 A，B 互斥，则有 P  A  B  P  A  P  B ，若事件 A，B 不互斥，则有 P  A  B  P  A  P  B  P  AB .
四、解答题
近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数
BMI  体重(kg)
身高2 m2 
衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的 BMI 数值标准是： BMI  18.5 为偏瘦；
18.5  BMI  24 为正常；24  BMI  28 为偏胖；BMI  28 为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了 100 名居民体检数据，将其 BMI 值分成以下五组：[12,16) ，[16, 20) ，[20, 24) ，[24, 28) ，[28, 32]，得到相应的频率分布直方图.
求频率分布直方图中 a 的值，并估计该社区居民 BMI 值的样本数据的80% 分位数；
现从样本中利用分层随机抽样的方法从[16, 20) ，[24, 28) 这两组中抽取 6 名居民，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组的概率.
【答案】（1） a  0.04 ， 80% 分位数为 26.5
8
（2）
15
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 得到方程，求出 a  0.04 ，利用百分位数的求解方法得到80% 分位数；
（2）求出两组人数比值为1: 2 ，则在[16, 20) ，[24, 28) 中分别抽取 2 人，4 人，利用列举法求解古典概型的概率.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图得(0.01 a  0.1 0.08  0.02)  4  1，解得 a  0.04 .
因为前三组的频率之和为(0.01 0.04  0.1)  4  0.6  0.8 ，前四组的频率之和为0.6  0.08 4  0.92  0.8 ，
所以样本数据的80% 分位数在[24, 28) 内，设为 x，则0.6  (x  24)  0.08  0.8 ，解得 x  26.5 ，
故估计该社区居民身体质量指数 BMI 值的样本数据的80% 分位数为 26.5.
【小问 2 详解】
由频率分布直方图可知 BMI 值在[16, 20) 内的频数为100  0.04  4  16 ，
在[24, 28) 内的频数为100  0.08 4  32 ，所以两组人数比值为1: 2 ，
按照分层随机抽样的方法抽取 6 人，则在[16, 20) ，[24, 28) 中分别抽取 2 人，4 人，
记[16, 20) 这组 2 人的编号分别为 a1 ， a2 ，[24, 28) 这组 4 人的编号分别为b1 ， b2 ， b3 ， b4 ，从这 6 人中随机抽取 2 人，
故 样 本 空 间 Ω  a1 , a2 , a1, b1 , a1, b2 , a1, b3 , a1 , b4 , a2 , b1 , a2 , b2 , a2 , b3 , a2 , b4 ,
b1 , b2 , b1 , b3 , b1 , b4 , b2 , b3 , b2 , b4 , b3 , b4 ，共 15 个样本点，
设事件 A  “抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组”，
则 A  a1 , b1 , a1 , b2 , a1 , b3 , a1 , b4 , a2 , b1 , a2 , b2 , a2 , b3 , a2 , b4  ，共 8 个样本点，
故 P( A)  8
15
8
，即从这 6 个人中随机抽取 2 人，抽取到的 2 人的 BMI 值不在同一组的概率为.
15
已知在锐角V ABC 中， sin A  2 sin 2C  sin(B  C) ， D 为 BC 边上一点，且 AD 平分∠BAC ．
CD
求
的值；
DB
若cs BAC  1 ，求 AD 的值．
4BC
【答案】（1）2（2） 10
6
【解析】
【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得sin B cs C  2 sin C cs C ，结合已知锐角三角形、正弦边角关系有b  2c ，最后根据角平分线的性质即可得；
–––→
2 –––→
1 –––→
–––→
（2）由已知及余弦定理得 a  2c ，再由 AD  3 AB  3 AC 及数量积的运算律求 AD 的模长，即可得.
【小问 1 详解】
由sin A  sin(π  B  C)  sin(B  C)  2 sin 2C  sin(B  C) ，
所以sin B cs C  cs B sin C  4 sin C cs C  sin B cs C  cs B sin C ，
则sin B cs C  2 sin C cs C ，在锐角三角形中cs C  0 ，则sin B  2 sin C ，由正弦定理知b  2c ，又 AD 平分∠BAC ，
根据角平分线的性质知 CD  AC  b  2 ；
DBABc
【小问 2 详解】

b2  c2  a21
由cs BAC  ，且b2c ，则
5c2  a2
 1，可得 a  2c ，
2bc
–––→–––→–––→–––→
4
1 –––→–––→
c2
1 –––→–––→
2 –––→
1 –––→
由 AD  AB  BD  AB 
BC  AB  ( AC  AB)  AB 
AC ，
3333
–––→2
所以 AD
2 –––→
 ( AB 
1 –––→
AC)
4 –––→2
2
 AB
1 –––→2
 AC
4 –––→ –––→
 AB  AC 
4 c2
 1 b2
 4 bc cs BAC
33999999
 4 c2  4 c2  2 c2  10 c2 ，
9999
–––→
所以 AD

c ，而 BC  2c ，故 AD .
10
10
3BC6
如图，在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AB  AA1  6 ， D 是 AB 的中点.
证明： BC1 / / 平面 A1CD .
求点C1 到平面 A1CD 的距离.
【答案】（1）证明见解析
6 5
5
（2）
【解析】
【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2）通过等体积法求距离
【小问 1 详解】
证明：连接 AC1 并与 A1C 交于点O ，连接OD .
在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中，四边形 ACC1A1 为矩形，则O 是 AC1 的中点.
因为 D 是 AB 的中点，所以OD / / BC1 .又 BC1  平面 A1CD, OD  平面 A1CD ，所以 BC1 / / 平面 A1CD .
【小问 2 详解】
由（1）可知 BC1 / / 平面 A1CD ，
所以点C1 到平面 A1CD 的距离等于点 B 到平面 A1CD 的距离. 因为三棱柱 ABC  A1B1C1 为正三棱柱，所以 AA1  平面 ABC .又CD  平面 ABC ，所以 AA1  CD .
因为 D 是 AB 的中点，所以CD  AB .
因为 AA1 ∩ AB  A ，所以CD  平面 ABB1 A1 .
由 AB  AA1  6 ，可得CD  3 3, A D  3 5, S
 1  3 3  3
 9 15 .
5
1a A1CD22
连接 A1B ，则V
A1 BCD
 1 S
3
a BCD
 AA1
 1  1  3 3 3  6  9 3 .
32
设点 B 到平面 A1CD 的距离为 d ，
1
则VB A CD
 1 S
3
a A1CD
 d  3 15 d .
2
3
由VA  BCD  VB A CD ，得 3 15 d  9，
112
6 5
5
6 5
5
解得d ，即点C1 到平面 A1CD 的距离为.
科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的 DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的 DeepSeek 培训，培训前需要面试，面试时共有 3 道题目，答对 2 道题则通过面试（前 2 道题
3
都答对或都答错，第 3 道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为
4
2 2 1
，小华答对每道题目的
概率依次为
, ,
3 3 2
，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答 2 道题就结束面试”
为事件A ，记“小华 3 道题都回答且通过面试”为事件 B ．
求事件A 发生的概率 P  A ；
求事件A 和事件 B 同时发生的概率 P  AB ；
求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
5
【答案】（1）
8
5
（2）
36
37
（3）
96
【解析】
【分析】（1）若事件A 发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得
P  A 的值；
若事件 B 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出 P  B 的值，分析可知，事件
A 、 B 相互独立，由独立事件的概率公式可求得 P  AB 的值；
记小明没有通过面试为事件C ，小华通过面试的事件记为 D ，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为 E ，则 E  DC  DC ，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得
P E  的值.
【小问 1 详解】
若事件A 发生，则小明前两题都答对或都答错，
 3 
2
所以 P  A   4 
 1 2
  4 
 5 ．
8

【小问 2 详解】
若事件 B 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，
根据题意则小华 3 道题都回答且通过面试的概率为 P  B  2  1  1  1  2  1  2 ，
3323329
由题意可知，事件 A, B 相互独立，
则 P  AB  P  A P  B  5  2  5 ．
8936
【小问 3 详解】
记小明没有通过面试为事件C ，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为 P C   3  1  1  1  3  1  1  1  5 ，
4444444432
可得小明通过面试的概率为 P C   1 5
 27 ．
3232
记小华通过面试的事件为 D ，由（2）得 P  D  2  2  2  2 ，
9333
由题意可知，事件C, D 相互独立，
记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为 E ，
则 P  E   P  DC   P DC   2  5
 1  27  37 ．
33233296
19. 如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线，以 BD 为折痕将△BCD 折起，使点C 到达点 P 的位置.
若 BP  AP ，证明：平面 PAB  平面 ABCD .
若 AB  4, AD  2 ，二面角 P  BD  C 的大小为 π ，求直线 BP 与平面 PAD 所成角的正弦值.
3
【答案】（1）证明见解析.
（2） 10
4
【解析】
【分析】（1）由已知可证 BP  平面 PAD ，进而证明 AD  平面 PAB 即可.
（2）过点 P 作 PE  BD ， PF  CE ，作 FG  BC ，证明 PF 点 P 到平面 ABCD 的距离，是并由二面角 P  BD  C 求出 PF ，建立空间直角坐标系 D  xyz ，则点 P 坐标确定，利用线面角公式计算即可.
【小问 1 详解】
因为 BP  AP ， BP  PD ， PA  PD  P ， AP, PD  平面 PAD ，所以 BP  平面 PAD ， AD  平面 PAD ，所以 BP  AD ，
又 AD  AB ， AB  BP  B ， AB, BP  平面 PAB ，所以 AD  平面 PAB ，
又 AD  平面 ABCD ，所以平面 PAB  平面 ABCD .
【小问 2 详解】
过点 P 作 PE  BD ，垂足为 E ，连接CE ，则CE  BD ，所以PEC 就是二面角 P  BD  C 的平面角.
2  4
2 5
4 5
因为 BD·CE  CD·CB ，所以CE ，
5
作 PF  CE ，垂足为 F ，则 EF  PE·cs π  2 5 , PF  PE·sin π  2 15 ，
3535
因为CE  BD, PE  BD, PE  CE  E ， PE, CE  平面 PCE ，所以 BD  平面 PCE ， PF  平面 PCE ，所以 BD  PF ，
又 PF  CE ， CE  BD  E ， CE, BD  平面 ABCD，
所以 PF  平面ABCD .
过 F 作 FG  BC 垂足为G ，
因为 aCFG ~aDBC ，所以BDC  FCG ，
2 5
2 5
2244
2 5
2 5
所以 FG  CF·sin FCG  ， CG  CF·cs FCG 
5555
以 D 为原点，分别以 DA, DC 所在直线为 x, y 轴，建立如图所示空间直角坐标系 D  xyz ，
则 D 0, 0, 0, A2, 0, 0, B 2, 4, 0, C 0, 4, 0, P  4 , 18 , 2 15  ，
 5 55

–––→62 2 15 –––→ 4 18 2 15  –––→
所以 BP    5 ,  5 ,5 ， DP   ,,5 , DA  2, 0, 0 ，
 5 5
→
设平面 PAD 的法向量为 n   x, y, z  ，
→ –––→
 418
2 15
15
n·DP  0x 
则，即 5
y 
z  0 ，令 y ，则 x  0, z  9 ，
→ –––→
55
n·DA  0
2x  0
→
所以 n  0, 15, 9是平面 PAD 的一个法向量.
–––→ →
BP·n
–––→ →
BP n
 6  0  2 15  2 15  9
5
6 2 
2
2
      
55
 2 15 

5 

5 

5
 · 
2

15   9
2
2
设直线 BP 与平面 PAD 所成角为θ，则
sinθ
20 15
2  4 6
10
，
5
4
即直线 BP 与平面 PAD 所成角的正弦值是 10 .
4