2025-2026年八年级数学上册 冀教版 第一次月考 试卷 【测试范围：冀教版2025八上第12~13章】（试卷及详细解析）

这是一份2025-2026年八年级数学上册 冀教版 第一次月考 试卷 【测试范围：冀教版2025八上第12~13章】（试卷及详细解析），共29页。试卷主要包含了测试范围，数学的美无处不在，对于正数x，规定f等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版2024八上第十二章~第十三章。
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
①和②B．①和③C．②和④D．③和④
2.如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（ ）
A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧
C．以点E为圆心，为半径的弧D．以点E为圆心，为半径的弧
3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150-x，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量D．减少的食盐量
4．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
A．40B．60C．80D．100
5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确B．甲有错误
C．乙有错误D．丙有错误
6．若关于x的分式方程x-ax+1=a无解，则a的值为（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝1或a＝2D．a＝1或a＝﹣1
7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d、mi、s．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112-115=110-112．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
8．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．若Ax+Bx+1+Cx+2（A、B、C均为常数）的计算结果为x2+2x(x+1)(x+2)，则A+B+2C的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．对于正数x，规定f（x）=x1+x，例如f（3）=31+3=34，f（13）=131+13=14，计算f（12014）+f（12013）+f（12012）+…+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）+f（2014）的结果是（ ）
A．2013B．2013.5C．2014D．2014.5
11．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）s．
A．1B．1或3C．2或4D．1或4
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13.下列命题：
①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的是 .
14．如图，若，且，，则 ．
15．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天可列分式方程 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 s时，CF＝AB．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．(7分)计算：
（1）a2+6aa2+3a-a2-9a2+6a+9；
（2）(3m-2n)+(3m-2n)33m-2n+1-(3m-2n)2+2n-3m3m-2n-1．
18．(8分)如图，AE∥BC，AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．求证：△EFA≌△ABC．
19．(8分)下面是小明同学解分式方程：“2x+3x-2-2=x-12-x”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务一：①解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ；
②第③步变形的依据是 ．
任务二：该分式方程的解是 ，并且写出正确的解答过程.
20．(8分)小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1x-1y=1（xy≠0），求分式5x-7xy-5yx+4xy-y的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法：
方法1：∵1x-1y=1，∴y-xxy=1，∴y﹣x＝xy，∴x﹣y＝﹣xy，
∴原式=5(x-y)-7xy(x-y)+4xy=5×(-xy)-7xy-xy+4xy=-4．
方法2：∵xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得
原式=(5x-7xy-5y)÷xy(x+4xy-y)÷xy=⋯
（1）“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是 ；
（2）请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整．
21．（9分）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若．
(1)求证：；
(2)求池塘的宽度．
22．(9分)某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表：
（1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个？
（2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同．
①求表中a的值．
②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套？
23．(11分)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【变式与应用】
（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，则EP的取值范围是 ．
A.6＜EP＜8 B.6≤EP≤8 C.1＜EP＜7 D.1≤EP≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF．
24．(12分)如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值．
2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷
全解全析
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版2024八上第十二章~第十三章。
一．选择题（共12小题）
1．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④
【答案】D
【详解】解：图③和④是全等形．
故选：D
2.如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（ ）
A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧
C．以点E为圆心，为半径的弧D．以点E为圆心，为半径的弧
【答案】D
【详解】解：作图痕迹中，弧是以点E为圆心，为半径的弧．
故选：D．
3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150-x，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量D．减少的食盐量
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
未知数x表示的意义是蒸发掉的水量，
故选：B．
4．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
A．40B．60C．80D．100
【答案】B
【详解】解：①代数式a3是整式，x+yx是分式，本小题判断正确，+20分；
②当y≠2时，y﹣2≠0，则分式yy-2有意义，本小题判断正确，+20分；
③若分式|x|-3x-3的值为0，则x＝﹣3，故本小题判断错误，不得分；
∴式子xy=x+1y+1从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分；
⑤分式a2+b2a2b+ab2是最简分式，本小题判断正确，+20分；
则他的得分应是60分，
故选：B．
5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确B．甲有错误
C．乙有错误D．丙有错误
【答案】C
【详解】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
6．若关于x的分式方程x-ax+1=a无解，则a的值为（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝1或a＝2D．a＝1或a＝﹣1
【答案】D
【详解】解：原方程去分母得x﹣a＝ax+a，
整理得：（1﹣a）x＝2a，
当1﹣a＝0，a＝1时，
0x＝2无解，则原分式方程无解，符合题意，
当a≠1时，
若原方程无解，那么它有增根x＝﹣1，
则﹣（1﹣a）＝2a，
解得：a＝﹣1，
综上，a＝1或a＝﹣1，
故选：D．
7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d、mi、s．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112-115=110-112．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【详解】解：根据调和数的定义可列分式方程得：
18-1x=15-18，
整理得，2x＝40，
解得x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的解．
所以x的值为20，
故选：D．
8．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝90°，
又∵S△ABC＝S△ADE，
∴S阴影=S△ABD=12AB⋅AD=12×2×2=2，
故选：B．
9．若Ax+Bx+1+Cx+2（A、B、C均为常数）的计算结果为x2+2x(x+1)(x+2)，则A+B+2C的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：原式=A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)x(x+1)(x+2)
=Ax2+3Ax+2A+Bx2+2Bx+Cx2+Cxx(x+1)(x+2)
=(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2Ax(x+1)(x+2)
=x2+2x(x+1)(x+2)，
则A+B+C＝1，3A+2B+C＝0，2A＝2，
解得：A＝1，B＝﹣3，C＝3，
则A+B+2C＝1﹣3+6＝4，
故选：D．
10．对于正数x，规定f（x）=x1+x，例如f（3）=31+3=34，f（13）=131+13=14，计算f（12014）+f（12013）+f（12012）+…+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）+f（2014）的结果是（ ）
A．2013B．2013.5C．2014D．2014.5
【答案】B
【详解】解：根据题意得：f（x）+f（1x）=x1+x+1x1+1x=x+1x+1=1，f（1）=12，
则原式＝[f（12014）+f（2014）]+[f（12013）+f（2013）]+…+[f（12）+f（2）]+f（1）
＝1+1+…+1+12
＝2013.5．
故选：B．
11．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）s．
A．1B．1或3C．2或4D．1或4
【答案】B
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝8﹣3t，∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝3t﹣8，
∴t＝3，
综上所述：t的值为1或3．
故选：B．
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAC=∠PAB=12∠CAB，∠PBF=∠PBA=12∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12(∠CAB+∠CBA)=12×90°=45°，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确；
∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPA＝∠FPD＝90°，
∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，∠APB=∠FPBPB=PB∠PBA=∠PBF，
∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确；
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，
∴∠PAH＝∠PFD，
在△PAH和△P F D中，∠PAH=∠PFDPA=PF∠APH=∠FPD，
∴△PAH≌△PFD（ASA），
∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，
∵∠FDP是△ABD的外角，
∴∠FDP＞∠ABC，
∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误；
又∵AH＝FD，AB＝FB，
∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD，
即AH+BD＝AB，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13.下列命题：
①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的是 .
【答案】①②④
【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确，
即正确的命题有3个．
故答案是：①②④．
14．如图，若，且，，则 ．
【答案】/35度
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天可列分式方程 900x-3=900x+1×2 ．
答案为：900x-3=900x+1×2．
【详解】解：∵慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且规定的时间为x天，
∴慢马所用时间为（x+1）天，快马所用时间为（x﹣3）天．
根据题意得：900x-3=900x+1×2．
故答案为：900x-3=900x+1×2．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 2或5 s时，CF＝AB．
答案为：2或5
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，∠ECF=∠A∠CEF=∠ACBCF=AB，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：102=5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：42=2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（7分）计算：
（1）a2+6aa2+3a-a2-9a2+6a+9；
（2）(3m-2n)+(3m-2n)33m-2n+1-(3m-2n)2+2n-3m3m-2n-1．
（2）3m﹣2n＝x，分式化为x+x3x+1-x2+-xx-1，然后通分计算即可．
【详解】解：（1）a2+6aa2+3a-a2-9a2+6a+9
=a(a+6)a(a+3)-(a+3)(a-3)(a+3)2
=a+6a+3-a-3a+3
=9a+3；分
（2）(3m-2n)+(3m-2n)33m-2n+1-(3m-2n)2+2n-3m3m-2n-1
设3m﹣2n＝x，
则原式=x+x3x+1-x2+-xx-1
=x(x+1)(x-1)+x3(x-1)-x2(x+1)(x-1)-x(x+1)(x+1)(x-1)
=x3-x+x4-x3-x4+x2-x2-x(x+1)(x-1)
=-2x(x+1)(x-1)
=-2(3m-2n)(3m-2n+1)(3m-2n-1)
=4n-6m(3m-2n+1)(3m-2n-1)．分
18．（8分）如图，AE∥BC，AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．求证：△EFA≌△ABC．
【详解】证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠C，分
在△EFA和△ABC中，
∠EAF=∠C∠EFA=∠ABCAE=AC，分
∴△EFA≌△ABC（AAS）．分
19．（8分）下面是小明同学解分式方程：“2x+3x-2-2=x-12-x”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务一：①解答过程中，第 ① 步开始出现了错误，产生错误的原因是 去分母时，2没有乘最简公分母 ；
②第③步变形的依据是 等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立 ．
任务二：该分式方程的解是 x＝﹣6 ．
【详解】解：任务一：①由解方程的步骤可得第①步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，2没有乘最简公分母，
故答案为：①；去分母时，2没有乘最简公分母；分
②由解方程的步骤可得第③步变形的依据是等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立，
故答案为：等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立；分
任务二：答案为：x＝﹣分
正确的解答过程是:
原方程去分母得：2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1），
去括号得：2x+3﹣2x+4＝﹣x+1，
移项得：2x﹣2x+x＝1﹣3﹣4，
合并同类项得：x＝﹣6，分
经检验，x＝﹣6是原分式方程的解，分
20．（8分）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1x-1y=1（xy≠0），求分式5x-7xy-5yx+4xy-y的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法：
方法1：∵1x-1y=1，∴y-xxy=1，∴y﹣x＝xy，∴x﹣y＝﹣xy，
∴原式=5(x-y)-7xy(x-y)+4xy=5×(-xy)-7xy-xy+4xy=-4．
方法2：∵xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得
原式=(5x-7xy-5y)÷xy(x+4xy-y)÷xy=⋯
（1）“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 ；
（2）请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整．
【详解】解：（1）由“方法1”中的解题步骤可得其数学依据是分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，
故答案为：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变；分
（2）原式=(5x-7xy-5y)÷xy(x+4xy-y)÷xy
=-5(1x-1y)-7-(1x-1y)+4，分
∵1x-1y=1(xy≠0)，
∴原式=-5×1-7-1×1+4=-4．分
21．（9分）（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若．
(1)求证：；
(2)求池塘的宽度．
【详解】（1）解：
，
，
．分
（2），
，
，
，
分
即池塘的宽度为．分
22．（9分）某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表：
（1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个？
（2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同．
①求表中a的值．
②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套？
【详解】解：（1）设购进茶壶x个，茶杯y个，可得：x+y=200y=5x+20，
解得：x=30y=170，
答：购进茶壶30个，茶杯170个；分
（2）①由题意得：180a=30a-30，
解得：a＝36，
经检验，a＝36是分式方程的解．分
②设成套销售了m套，根据题意可得：
（55﹣24﹣4×4）m+（36﹣24）（20﹣m）+（6﹣4）（100﹣4m）＝365，
解得：m＝15，
答：成套销售了15套．分
23．（11分）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 B ．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【变式与应用】
（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，则EP的取值范围是 C ．
A.6＜EP＜8
B.6≤EP≤8
C.1＜EP＜7
D.1≤EP≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF．
【详解】（1）解：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，如图1所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
CD=BD∠ADC=∠EDBED=AD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：B；分
（2）解：延长EP到H，使HP＝EP，连接HF，如图2所示：
∴EH＝HP+EP＝2EP，
同（1）证明：△EPD≌△HPF（SAS），
∴ED＝HF，
∵EF＝8，DE＝6，
∴HF＝DE＝6，
在△EFH中，由三角形三边之间的关系得：EF﹣HF＜EH＜EF+HF，
∴8﹣6＜2EP＜8+6，
∴2＜2EP＜14，
∴1＜EP＜7，
故选：C；分
（3）证明：延长FD到K，使DK＝DF，连接BK，FK，如图3所示：
∵DE⊥DF，
∴，
在△EDK和△EDF中，ED=ED∠EDK=∠EDFDK=DF，
∴△EDK≌△EDF（SAS），分
∴EK＝EF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDK和△CDF中，BD=CD∠BDK=∠CDFDK=DF，
∴△BDK≌△CDF（SAS），分
∴BK＝CF，
在△BEK中，由三角形三边之间的关系得：BE+BK＞EK，
∵EK＝EF，BK＝CF，
∴BE+CF＞EF．分
24．（12分）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值．
【详解】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s，
∴AP＝3cm，BQ＝3cm，∴AP＝BQ＝3cm，
∵AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝7cm，
又∵AC＝7cm，
∴AC＝BP＝7cm，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在△ACP与△BPQ中，AP=BQ∠A=∠B=90°AC=BP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），分
∴∠C＝∠BPQ，
在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°，
∴∠BPQ+∠APC＝90°，
∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，
∴PC⊥PQ；分
（2）依题意得：AP＝3t cm，BQ＝xt cm，
∵AB＝10cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm，
又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA，分
①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ，
由AP＝BQ，得：3t＝xt，
解得：x＝3，
由AC＝BP，得：7＝10﹣3t，
解得：t＝1，分
②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，
由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t，
解得：t=53，
由AC＝BQ，得：7＝xt，
∴53x=7，
解得：x=215，分
综上所述：x的值是3或215cm/s．分
姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分）
判断题，对的打“√”，错的打“×”
①代数式a3，x+yy都是分式（×）
②当y≠2时，分式yy-2有意义（√）
③若分式|x|-3x-3的值为0，则x＝±3（√）
④式子xy=x+1y+1从左到右变形正确（√）
⑤分式a2+b2a2b+ab2是最简分式（√）
解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…①
去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②，
移项得：2x+x＝1+2﹣3…③．
合并同类项得：3x＝0…④，
系数化为1得：x＝0…⑤
经检验，x＝0是原分式方程的解．
进价（元/个）
单个售价（元/个）
成套售价（元/套）
茶壶
24
a
55
茶杯
4
a﹣30
备注：（1）一个茶壶和四个茶杯配成一套（如图）；
（2）利润＝（售价﹣进价）×数量
姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分）
判断题，对的打“√”，错的打“×”
①代数式a3，x+yy都是分式（×）
②当y≠2时，分式yy-2有意义（√）
③若分式|x|-3x-3的值为0，则x＝±3（√）
④式子xy=x+1y+1从左到右变形正确（√）
⑤分式a2+b2a2b+ab2是最简分式（√）
解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…①
去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②，
移项得：2x+x＝1+2﹣3…③．
合并同类项得：3x＝0…④，
系数化为1得：x＝0…⑤
经检验，x＝0是原分式方程的解．
进价（元/个）
单个售价（元/个）
成套售价（元/套）
茶壶
24
a
55
茶杯
4
a﹣30
备注：（1）一个茶壶和四个茶杯配成一套（如图）；
（2）利润＝（售价﹣进价）×数量