2024—2025学年度天津市河东区高二上学期期中数学质量调查试题[含解析]

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一、选择题：(每小题3分，共30分) 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在x轴上的截距为（ ）
A. 2B. C. D. 3
2. 已知直线:和:互相平行则
A. B. C. 或D. 或
3. “”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若圆与圆相外切，则实数 （ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（ ）
A. 3B. 6C. D.
6. 曲线与曲线（且）的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等
7. 已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：(每小题4分，共24分)
11. 已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．
12. P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.
13. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．
15. 在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆面积最小值为_________.
16. 已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线与双曲线C的左、右支分别交于点A、B， 若OA⊥AB，， 则该双曲线的离心率为______.
三、解答题：(本题共4小题，共46分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系中，三个点到直线l的距离均为d，且．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
18. 已知椭圆：过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．
19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由
20. 已知椭圆左、右焦点分别为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点.若 ，求直线的斜率；
（3）为椭圆上一点，射线分别交椭圆于点，试问否为定值? 若是，求出该定值； 若不是，请说明理由。
2024-2025学年天津市河东区高二上学期期中数学质量调查试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷2至2页.考生务必将答案写在答题卡规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：(每小题3分，共30分) 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在x轴上的截距为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】直接由截距的定义即可求解.
【详解】在直线中，令，解得.
故选：B.
2. 已知直线:和:互相平行,则
A. B. C. 或D. 或
【正确答案】D
【分析】
根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得的值.
【详解】因为直线:和:互相平行
当时两条直线不平行,即
则,且
化简可得
解方程可得或
经检验或都满足题意
故选:D
本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.
3. “”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据表示圆得到或，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】若表示圆，则，解得或，
可以推出表示圆，满足充分性，
表示圆不能推出，不满足必要性，
所以是表示圆的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若圆与圆相外切，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解即可
【详解】的圆心，半径为2，
的圆心，半径为1，
因为两圆外切，
所以，
即，解得，
故选：C
5. 双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【正确答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程是：，则求解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程是：，
所以，，
所以焦距为.
故选：B
本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.
6. 曲线与曲线（且）的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等
【正确答案】C
【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项.
【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆．
曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为，
短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆．
故选：C.
7. 已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】连接，得到，作，求得，利用椭圆的定义，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解椭圆的离心率.
【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，
过点作，可得，且，
由椭圆的定义，可得，所以，
在直角中，可得，即，
整理得，
两侧同除，可得，解得或，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故选：B
本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果.
【详解】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心
则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
9. 已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程.
【详解】设直线l的斜率为k，则，所以，
因为点在圆上，
，即，
设点，，则，.
两式相减，得
则，即，
所以双曲线C的方程为.
故选：B.
关键点点睛：解题的关键是利用点差法表示出直线的斜率，由此即可顺利得解.
10. 若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先分析出表示起点为A−2,0的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线为椭圆，只需点A−2,0落在椭圆内，列不等式求出的范围；若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.
【详解】如图示：表示起点为A−2,0的两条斜率分别为1和-1的射线.

当曲线为椭圆时，则，只需点A−2,0落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得.
所以实数的取值范围是
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题：(每小题4分，共24分)
11. 已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．
【正确答案】
【分析】由方向向量得直线的斜率，从而得倾斜角．
【详解】解：设直线的倾斜角为，，则，
∴．
故．
本题考查直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系，属于基础题．
12. P、Q是椭圆C：动点，则的最大值为__________.
【正确答案】4
【分析】根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.
【详解】由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，
故4.
13. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
【正确答案】
【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.
【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得.
故双曲线的实轴长为.
故
本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．
【正确答案】8
【分析】根据椭圆对称性及矩形性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.
【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，
所以，
由椭圆定义与勾股定理知：，可得．
所以四边形的面积为8.
故8
15. 在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为_________.
【正确答案】
【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.
【详解】解：要使圆面积尽可能小，则点位于第一象限，设，
又，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，
所以，
即，
则，
所以，
所以，当且仅当即时取等号，
所以，所以圆的面积最小值为，此时；
故
16. 已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线与双曲线C的左、右支分别交于点A、B， 若OA⊥AB，， 则该双曲线的离心率为______.
【正确答案】
【分析】设出点的坐标，一方面可以得到，另一方面可以得到，从而联立即可得解.
【详解】
因为，设Ax1,y1,Bx2,y2，F−c,0，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，即，解得，
由，，
所以，
所以.
故答案为.
关键点点睛：关键在于得到以及，由此即可顺利得解.
三、解答题：(本题共4小题，共46分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系中，三个点到直线l的距离均为d，且．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据几何意义可判断直线l为的三条中位线，结合可知为边上的中位线，进而根据截距式即可求解方程，
（2）由待定系数法，可根据圆的弦长公式列方程求解半径和圆心即可.
【小问1详解】
由几何意义可知，直线l为的中位线，
而O到边的中位线距离为1．O到边的中位线距离为3．O到边上的中位线距离，故直线l只能为边上的中位线，
即直线l过点．故直线l的方程，即；
【小问2详解】
设圆的标准方程为，
则
解得或0（舍去），，
所以圆C的标准方程为
18. 已知椭圆：过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．
【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得值即可求解；
（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.
【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②
由①②解得，，
故椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为．
将直线的方程代入中，得，
设，，则，．
所以，，
所以
，
由，解得，
所以，，
因此．
19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证.
（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面的法向量，又平面ABC，则即为平面ABC的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案.
（3）设，可得，由（2）可得平面的法向量，根据线面角的向量求法，可求得t值，即可得答案.
【小问1详解】
证明：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又，即，
所以平面，
又平面，
所以
【小问2详解】
因为两两垂直，以C为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
设平面的法向量，
则，所以，
令x=1，则法向量，
又平面ABC，则即为平面ABC的法向量，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【小问3详解】
设，则，
设与平面所成角为，
则，
解得（舍）或，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点.若 ，求直线的斜率；
（3）为椭圆上一点，射线分别交椭圆于点，试问是否为定值? 若是，求出该定值； 若不是，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）直线的斜率或
（3）是定值，为
【分析】（1）利用椭圆的标准方程和点坐标列方程求解即可；
（2）设直线，Ax1,y1，根据利用向量相等的坐标表示列方程求解即可；
（3）分情况讨论，当点在轴上时直接求出的值，当点不在轴上时，由对称性不妨设Px0,y0 ，表示出直线，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入计算即可.
【小问1详解】
因为椭圆中，所以，①，
又在椭圆上，所以②，
由①②联立解得，，
所以椭圆的标准方程为.
小问2详解】
由题意可知直线的斜率存在，设直线，Ax1,y1，
则，，，
因为，所以，
因为点在椭圆上，所以将代入解得，
当时，代入解得，
当时，代入解得，
综上直线的斜率或.
【小问3详解】
当点在轴上时，由对称性不妨设，此时两点重合，
，，所以；
当点不在轴上时，由对称性不妨设Px0,y0 ，，，
当时，直线，
联立方程，消结合整理得，
由韦达定理得，所以，
同理可得，
所以由相似三角形可得，
因为，所以；
当时，由对称性不妨设，则，
直线方程为，联立解得点坐标为，
则由相似三角形得，所以，
综上是定值，为.
解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为Ax1,y1，Bx2,y2；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求