2024—2025学年度四川省眉山市东坡区高一上学期11月（期中）联考数学试题[含解析]

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．和D．和
6．已知，化简：（ ）
A．B．C．D．
7．函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数和函数是同一个函数
B．若，则
C．若函数的定义域是，则函数的定义域是
D．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为
10．下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是真命题
D．“在上单调递增”是“”的必要不充分条件
11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．函数的值域是
D．函数在上单调递增
三、填空题
12．已知，且，则 .
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 ．

14．定义 若函数 则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为
四、解答题
15．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且满足.
16．已知幂函数为定义域上的偶函数.
(1)求实数的值；
(2)求使不等式成立的实数的取值范围.
17．已知函数是上的奇函数，且
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
18．我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
(1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
19．已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递减；
(3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
数学答案
1．A
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，又，
所以.
故选：A.
2．D
【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举例说明．
【详解】，例如，此时，，，ABC均错；
时，，，即，D正确．
故选：D．
3．C
【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】因为奇函数和偶函数满足，
则，
即，解得，
因此，.
故选：C.
4．C
【分析】根据单调性和奇偶性分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误；
对于选项B：因为在定义域内不单调，故B错误；
对于C：因为的定义域为，且，故为奇函数，
当时，在上单调递减；
当时，在单调递减；
所以故C在定义域内既是奇函数又是减函数，故C正确；
对于选项D：因为，可知在定义域内不单调，故D错误；
故选：C.
5．C
【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间.
【详解】因为函数的对称轴为直线，
由可得或，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为和.
故选：C.
6．D
【分析】化为分数指数幂，再计算即可．
【详解】，
故选：D.
7．C
【分析】根据分段函数单调性得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得，，解得．
故选：C．
8．A
【分析】首先确定时的对称轴，分别在和两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果.
【详解】当时，是开口方向向下，对称轴为的二次函数，
①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得；
②当，即时，若存在，使得，则函数图象需满足下图所示：

即，解得：，；
综上所述.
故选：A.
思路点睛：根据可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.
9．AB
【分析】对A：根据函数定义域和对应关系是否相同，即可判断；对B：利用换元法，即可求得函数解析式；对C：根据抽象函数定义域求解方法，直接求解即可；对D：由的单调性，结合题意，列出关于的不等式，求解即可.
【详解】对A：由，且两个函数定义域相同，均为，
故函数和函数是同一个函数，A正确；
对B：令，则，故1，即，B正确；
对C：由，得，故函数的定义域为，C错误；
对D：，故的单调递增区间为，
若函数在区间上单调递增，则有，即，D错误.
故选:AB.
10．BCD
【分析】对于A，由实数的平方的非负性可判断；对于B，利用不等式的性质判断即可；对于C，先表示出原命题的否定，再利用二次函数的性质判断即可；对于D，求出函数的单调递增区间，转化为集合间的包含关系判断即可.
【详解】对于A，由，得，则不存在实数使得方程成立，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立；
假设，，满足，此时不成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“，”的否定是“，”，
因为恒成立，所以“，”是真命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
对于D，由，
得二次函数的开口向下，对称轴方程为，则单调递增区间为，
若在上单调递增，则，
所以，解得，故充分性不成立；
若，则，此时，所以在上单调递增，故必要性成立；
所以“在上单调递增”是“”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BCD
11．ABD
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
12．7
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，结合即可求解.
【详解】，
则
则有，
若，则
故
13．或
【分析】根据偶函数图象关于y轴对称，补全函数在上的图象，找到自变量x与函数异号的部分，进而求解.
【详解】因为偶函数的图象关于y轴对称，所以函数在上的图象如图所示，
所以的解集为或.
故或.

14． 5
【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的最大值.
【详解】当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，解得或，
由,结合图象可知，若函数在区间上的值域为，
则最大值为，
故5，.
思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.
15．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解；
（2）根据题意利用构建方程组法运算求解；
（3）根据题意利用待定系数法运算求解
【详解】（1）令 ，则，
可得，
所以；
（2）因为，可得，
即，消去可得；
（3）设，
因为，即，
整理得，
所以，解得，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的知识即可得解.
（2）根据函数的奇偶性和单调性求得不等式的解集.
【详解】（1）由于是幂函数，所以或，
当时，是奇函数，不符合题意.
当时，是定义在R上的偶函数，符合题意.
所以.
（2）由（1）得是定义在R上的偶函数，
在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以等式即，
两边平方并化简得，
解得，所以不等式的解集为.
17．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用函数的奇偶性和特殊点求得并验证即得.
（2）判断函数在上的单调性，进而求出最大值.
（3）利用（2）的结论，构造一次函数，建立不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）函数是上的奇函数，则，，
由，得，解得，
于是，显然，即函数是奇函数，
所以的解析式是.
（2）且，即，则，，
则，
即，因此函数在上单调递增，
所以在区间上的最大值为.
（3）由（2）及对所有的恒成立，得，
依题意，，，令，
因此，恒成立，则，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18．(1)
(2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解；
（2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解.
【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，，
所以.；
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
因为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
19．(1)偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性；
（2）任取，令，，结合已知等式和在上的正负即可得到结论；
（3）记在上的值域为，在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1）令，则，；
令，则，；
取，则；
为定义在上的偶函数.
（2）任取，
令，，则，即；
，，
又当时，，，即，
在上单调递减.
（3）由（1）（2）知：在上单调递减且，又，
当时，，记；
对任意，总存在，使得，
记在上的值域为，；
的图象关于点中心对称，当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，即，
由得：，又，解得：；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，即，
由得：，又，解得：；
③当，即时，在上单调递减，，
，即，
由得：，又，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
C
D
C
A
AB
BCD
题号
11









答案
ABD