2024-2025学年上海市虹口区高二上册期末考试数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市虹口区高二上册期末考试数学检测试题（含答案），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共10小题）
1．等差数列中，，则 .
2．已知随机变量，且，其中，则 .
3．在的二项展开式中，常数项的值为 .
4．以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，82，98，83，90，91，则这19人成绩的第80百分位数是 ．
5．已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是____________.（填序号）
6．对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下：
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，的估计值为 .
7．第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的未来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有 种.
8．随机变量的分布为，若，则 .
9．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则数列所有项的和为 .
10．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 .
二、单选题（本大题共5小题）
11．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
12．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
13．下列说法正确的是（ ）
①必然事件的概率等于1； ②互斥事件一定是对立事件；
③球的体积与半径的关系是正相关； ④汽车的重量和百公里耗油量成正相关.
A．①②B．①③C．①④D．③④
14．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占25%
D．10月上旬的极差大于中旬的极差
15．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
三、解答题（本大题共4小题）
16．已知四棱锥的底面为正方形，且平面，为中点
(1)求证：面面
(2)求异面直线与所成角的大小
17．从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．
（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．
18．2021年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房突破了50亿元，影片的感人情节引起同学们广泛热议．开学后，某中学团委在高二年级（其中男生200名，女生150名）中，对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为A组，各班女生观看人数统计记为B组，得到茎叶图如下．
(1)根据茎叶图补全2×2列联表；
(2)判断是否有95%的把握认为观看该影片与性别有关．
参考临界值表：
.
19．已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如，数列､､满足，则其“序数列”为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
(1)若数列､､的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
(2)若项数均为2021的数列､互为“保序数列”，其通项公式分别为，（t为常数），求实数t的取值范围；
(3)设，其中p､q是实常数，且，记数列的前n项和为，若当正整数时，数列的前k项与数列的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.
答案
1．【正确答案】37
【分析】根据等差数列的性质直接得出结果.
【详解】因为数列为等差数列，，
所以.
故37
2．【正确答案】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.
【详解】由正态分布曲线的对称性可知：，
.
故答案为.
3．【正确答案】70
【分析】根据二项式开展式的通项公式计算，即可求解.
【详解】由题意知，展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式的常数项为.
故70
4．【正确答案】
【分析】根据求百分位数的解题步骤，可得答案.
【详解】由小到大排列，则66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，
由，则第位的数字就是所求百分位数，即.
故答案为.
5．【正确答案】①②④
【分析】由事件间关系的概率公式计算即可判断.
【详解】因为与是独立事件，则与也是独立事件.
又，所以，
，故①正确；
，故②正确；
，故③错误；
，故④正确.
故①②④
6．【正确答案】211.5
【分析】线性回归直线方程过样本中心点()，求出，即可得回归直线方程，当时，求解即可．
【详解】样本平均数，，回归直线方程为，
则回归直线方程为，
当时，．
故211.5．
7．【正确答案】36
【分析】把4名志愿者分为3组，选出2人作为一组，然后将3组全排列即可.
【详解】首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，
再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有种分法，
所以共有种分法.
故36.
8．【正确答案】
【分析】根据数学期望的性质可求得，并结合概率和为构造方程组求得，利用方差计算公式可求得结果.
【详解】，，
即，又，，，
.
故答案为.
9．【正确答案】384
【分析】由题意，根据等比数列的性质求出公比，进而求出数列的各项；结合等差数列的性质求出，全部相加即可求解.
【详解】由题意知，在数列中，成等差数列，成等比数列，
又，设等比数列的公比为，
所以，解得，
所以，由，得，
所以数列所有项之和为
.
故384
10．【正确答案】
【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ，
设，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,
所以，所以四面体 的体积为，
当 时，四面体 的体积取得最大值： ．
所以答案应填： ．
考点：1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．
【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．
11．【正确答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
12．【正确答案】A
【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
考点：条件概率．
13．【正确答案】C
【分析】
根据事件间的关系及相关关系对选项一一判断即可.
【详解】
互斥事件不一定是对立事件，②错；
③中球的体积与半径是函数关系，不是正相关关系，③错；①④正确，
故选：C.
14．【正确答案】C
【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.
【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；
对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；
对于C，由折线图知小于50的有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；
对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；
故选：C.
15．【正确答案】D
【分析】
对A，利用直方图中2小时至小时之间的频率判断A;
对B，计算超过3小时的频率可判断B;
对C，根据直方图中平均数的公式计算，可判断C;
对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.
【详解】
对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确；
对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确；
对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确；
对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.
故选:D．
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决.
【详解】（1）
连接，交于点，根据正方形性质，对角线，又面，平面，
故，由，面，故面，而面，
根据面面垂直的判定，面面.
（2）由平面，平面，故，，由，
故下以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：，
则，，，，根据中点坐标公式：，
故，，故，
异面直线与所成角的范围是，
故所成角的大小为.
17．【正确答案】(1)见解析；（2）.
【详解】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.
试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
18．【正确答案】(1)详见解析；
(2)有95%的把握认为观看该影片与性别有关.
【分析】（1）根据条件可得列联表；
（2）计算，进而即得.
【详解】（1）根据茎叶图可得男生观看人数为，
女生观看人数为，
所以可得列联表：
（2）由题可得，
所以有95%的把握认为观看该影片与性别有关．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由题意得出不等式即可求出；
（2）作差判断增减，得出序数列即可求解；
（3）讨论或，，，，根据数列的单调性结合题意可得.
【详解】（1）由题意得，即，解得；
（2），
当时，，即，当时，，即，
故，
又，，，因此的序数列为，…，2021．
又因、互为“保序数列”，故，
只需满足，解得：．
（3）① 当或时，数列中有相等的项，不满足题意.
② 当时，数列单调递增，故也应单调递增，
从而对且恒成立.又数列单调递增，故.
③ 当时，数列单调递减，故也应单调递减，
从而对且恒成立.
又数列单调递减，故.
④ 当时，数列单调递减，且；单调递增，且，
于是对且恒成立，即，从而.
另一方面，对且恒成立，即，从而.
综上，，即.
此时，，满足题意.
综上，当时，、满足的条件是；
当时，、满足的条件是；
当时，、满足的条件是.2
4
5
6
8
20
40
60
70
80
指数值
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
观看
没观看
合计
男生
200
女生
150
合计
350
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
观看
没观看
合计
男生
140
60
200
女生
120
30
150
合计
260
90
350