2024—2025学年度黑龙江省虎林市高二上学期期中联考数学试题[含解析]

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．20
3．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知圆与圆外切，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．内切圆的面积为
C．点P的纵坐标为
D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分)
9．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（ ）
A． B．
C．平面平面 D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为
11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知双曲线C的方程为，则的取值范围为 ．
13．已知向量，，，则 ．
14．已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程；
(2)求过点，的双曲线的标准方程．
16．已知直线与圆交于，两点，且.
(1)求实数的值；
(2)若点为直线上的动点，求的面积.
17．如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线，，斜率为的直线过点.
(1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
(2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.
19．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点，当面积为时，求直线的斜率.
答案：
1．C
【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.
【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为，
则，故焦点坐标为.
故选：C.
2．D
【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长．
【详解】
为椭圆的两个焦点，
，
的周长为．
故选：D．
3．C
【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求.
【详解】由，知：，则，解得，，故.
故选：C
4．B
【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.我们先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值.
【详解】对于圆，其圆心坐标，半径.
对于圆,其圆心坐标，半径.
因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距.
根据两圆外切性质，即，解得.
故选：B.
5．D
【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解.
【详解】
如图，抛物线的焦点为,
根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,
所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，
由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，
所以即为所求，
故选: D.
6．B
【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
7．C
【分析】根据双曲线定义可得，即可根据勾股定理，结合分类讨论求解.
【详解】由题意可得，由双曲线定义可得，
故，
若,则,即，化简可得，则，
若,则,即，化简可得，不符合题意舍去，
故选：C
8．B
【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D.
【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则，
在中，由余弦定理，
由①②可得，
所以得面积为，故A错误；
对于B：设内切圆半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，故B正确；
对于C：因为的面积为，则，
解得，故C错误；
对于D：设，则，，
，
则当时，的最大值为5，故D错误；
故选：B.
9．BD
【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.
【详解】由双曲线知，，，
对于A，双曲线的离心率为，故A错误；
对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；
对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；
对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；
故选：BD.
10．BC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，由模长公式可验算A，由数量积的运算律可验算B，求出两个平面的法向量验算其数量积即可；对于D，求出直线方向向量与平面法向量即可验算.
【详解】由题意过点作于点，因为平面，平面，
所以，
因为，所以，
所以两两互相垂直，
故以为原点分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，
所以，
，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，显然的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
而，
从而，令，解得，
所以，
所以，故C正确；
对于D，显然的一个法向量为，而，
从而，则直线与平面所成角的正弦值为，故D错误.
故选：BC.
11．BC
【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点F1,0，
所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项正确.
由上述分析可知，中点，
其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切，
C选项正确.
，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：BC

12．
【分析】根据双曲线的方程特点可得不等式，解之即得.
【详解】由双曲线方程特点知：，解得，
故的取值范围为.
故答案为.
13．1
【分析】先利用空间向量的模长公式求解得，再利用数量积的坐标表示即得解
【详解】由题意，
解得
故
故1
14．/
【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值.
【详解】要使点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行且与椭圆相切的直线为，
联立，消去整理得，
由，即，解得或，
对于直线，与直线的距离为，
对于直线，与直线的距离为，
所以点到直线的距离最大值为.
故答案为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，-------------------------2
即，
两边平方得，-------------------5
整理得. ------------------6’
双曲线的方程为，----------------------------7
将，代入得：---------------------------------8
，解得，---------------------------12
所以双曲线方程为. --- -----------------13
16．(1)
(2)
【详解】（1）将圆可化为，------1
所以其圆心，半径，作于点， -----3
由垂径定理可得为的中点，如下图所示：
由可得， -----------------4 ， ------------6
解得 --------7
（2）由（1）可知，所以， --------------9
易知直线与直线平行，
所以点到的距离为， ---------------12
因此的面积为. ---------------15
17．(1)证明见解析
(2)
详解】（1）取的中点，连接，因为，，
所以， -------------2
又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，
则，所以， ------------5
所以，即平面，又平面，所以平面平面； --------7

（2）取的中点，连接，则，即，
如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，，，
所以，， ----------------9
设平面的法向量为，则，取， ----------12
又平面的一个法向量为， --------------13
设平面与平面夹角为，则， --------14
所以平面与平面夹角的余弦值为 ------------------15
18．(1)或
(2)
【详解】（1）当时，，
则直线的方程为， ------------------1
又双曲线的渐近线为， ----------------2
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； ---------3
当时，
联立方程组， --------------4
得，
，
解得； -------------6
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或 - --------------7
（2）由双曲线，
则，，， ------------8
又点在双曲线上，即，即---10
在中，
由余弦定理， ---------------12
即，
解得， -------------------14
所以的面积.------------------15
19．(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆顶点性质以及可得；---------------1
当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为，
代入可求得，所以， ------------------3
解得； ---------------------5
所以椭圆的方程为. -----------------------6
（2）由（1）可知B−2,0，
设直线的方程为 ----------------------7
，，如下图所示：
联立，消去并整理可得， ------------------8
由韦达定理可得； -----------------------9
因此，-----------------11
直线的方程化为，可得点B−2,0到直线的距离为；----12
所以的面积为，------13
又面积为，可得，解得；-------------------14
所以直线的斜率.--------------------------------------------15
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
D
B
C
B
BD
BC
题号
11









答案
BC