2024—2025学年度黑龙江省佳木斯市桦南县高二上学期期中考试数学试题[含解析]

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
3．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥m，α∥β，，则l⊥α
C．若l⊥α，α∥β，，则l⊥mD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
4．平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ）
A．与互斥B．与互斥
C．与对立D．与对立
10．已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
11．如图，正四棱柱中，，，点E，F，G分别为棱CD，，的中点，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．平面AEF
C．
D．点D到平面AEF的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线与直线垂直，则实数a的值为 ．
13．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
14．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
(1)以为基底表示；
(2)若，且，，，求.
16．已知两直线：，：，是和的交点.
（1）求过点且垂直于直线的直线的方程．
（2）求过点且平行于直线：的直线的方程.
17．已知集合，，．
(1)求为一次函数的概率；
(2)求为二次函数的概率．
18．已知圆C：，直线l过定点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19．如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，所以，又，所以
所以．
故选：B．
2．【正确答案】C
【分析】利用复数定义及运算法则计算即可.
【详解】因为，所以的虚部为3，
故选：C.
3．【正确答案】C
采用逐一验证法，结合线线关系、线面关系、面面关系可得结果.
【详解】对A，l∥α，l∥β，α与β不一定平行，也可能相交，故A错
对B，一条线要垂直平面内的两条相交直线才会得到线面垂直，
故l不会垂直β，由于α∥β，所以也不会垂直α，故B错
对C，由l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又，则l⊥m，故C正确
对D，α⊥β，l∥α，l与β可以相交，也可以在平面内，故D错
故选：C
4．【正确答案】A
【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断.
【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，
直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，
又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，
所以.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】解：因为，
由余弦定理得，，
由为三角形内角得，，
因为，则为锐角，，
所以，，
则．
故选：B．
6．【正确答案】A
【详解】由题意所求概率为．
故选：A．
7．【正确答案】A
【详解】由题意得，偶函数在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，且,
作出函数的大致图像如下：
不等式等价于或，
数形结合可知不等式的解集为：
故选：A.
8．【正确答案】A
【详解】由题设知：，，又，故两条动直线相互垂直，
所以，即，当且仅当时等号成立.
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确.
事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确.
事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.
事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】BD
【详解】

对于A项，由圆配方得：
知圆的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心到轴的距离为1，等于圆的半径，故圆与轴相切，
同理圆心到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切，故轴为圆
与的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将与左右分别相减，
即得圆与的公共弦所在的直线方程为：故选项C错误；
对于D项，如图，因直线同时经过两圆的圆心，依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，故圆与上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
11．【正确答案】ABD
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
对于A，，，所以，
即，所以，故A正确；
对于B，，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
所以，即，令，则，所以，
所以，，所以平面，故B正确；
对于C， ，，，，
，，所以，所以与不平行，故C错误；
对于D，平面的一个法向量为，，
所以点D到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD，
12．【正确答案】或
【详解】由于，所以，
，解得或.
故或
13．【正确答案】/
【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故
14．【正确答案】
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
如图分别取的中点，连接，
则，，
所以为二面角的平面角，即.
由题知为等边三角形，
所以，.
所以，即，
所以.
由图形的对称性可知：球心必在的延长线上，
设球心为，连接，设半径为，，，
由题可知，为直角三角形，
所以，所以，
解得：，，
所以，球的表面积为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得；
（2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】（1）由图可得，;
（2）由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故.
16．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）联立方程解得，
，且，
∴，
∴：，
整理得：；
（2）令：,
过，代入得：,
∴.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）样本空间有 25个结果，为一次函数，即，，共4种情况，所以概率为；
（2）样本空间有 25个结果，为二次函数，即，共20种情况，所以概率为．
18．【正确答案】（1）或
【分析】
（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；
（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.
【详解】
（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，
则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝时，S取得最大值2.
∴＝ ∴ k＝1 或k＝7
所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
19．【正确答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：平面，，平面
为的中点, ，，
,
又平面，平面，,
又，，平面，
平面，又平面，
，又，平面，
平面，
平面,
所以平面平面.
（2）
,
在面内，过作，
平面，两两相互垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间坐标系，
由（1）知，为AB中点，则，
则,
，
面，面的一个法向量是，
设面的法向量，
则，
所以面的一个法向量为，
，
所以二面角的余弦值为 .