2024—2025学年度海南省琼海市琼海市高二上学期10月月考数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度海南省琼海市琼海市高二上学期10月月考数学试题[含解析]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则（ ）
A．B．2C．D．5
3．不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
4．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．中位数，众数B．中位数，方差
C．平均数，方差D．平均数，众数
8．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
10．以下命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6
D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点，则 ．
13．设向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为 .
14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的值；
(2)若，的面积为，求的最大值.
16．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
(1)用向量，，表示向量，并求出线段的长度；
(2)请求出异面直线与所成夹角的余弦值.
17．从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的500名男生的身高的平均数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率.
18．如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.
19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由集合，解不等式得到：，
又因为，根据集合交集的概念得到.
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】因为复数
则
故选：C.
3．【正确答案】C
化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】由题意，不等式，可化为，即，
解得或，即不等式的解集是.
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】若，则，解得，
显然“”可以推出“”， “”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．【正确答案】B
【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法，
其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法，
所以概率为.
故选：B.
6．【正确答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.
【详解】，
定义域为，关于原点对称，
由，
所以为奇函数，排除BD；
当时，，因为为上减函数，为上的增函数，
则为上的减函数，且当，，则当，
，故，排除A.
故选：C.
7．【正确答案】A
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的定义求解可得．
【详解】这组数据中成绩为46、47的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数是50，即众数为50，
第25、26个数据都是50，则中位数为50，
即中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关，
故平均数，方差与被遮盖的数据有关.
故选A．
8．【正确答案】D
【详解】由题意可得，
设，
即有
即可得，解得，即
即向量在基底下的斜坐标为.
故选：D.
9．【正确答案】BC
根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.
【详解】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：
，
恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，
两个事件没有共同的基本事件，故互斥；
至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，
两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.
故选：BC
10．【正确答案】ABD
【详解】对A，，，，，，的方差为2，
，，，，，的方差为，故A对；
对B，数据8，9，10，11，12共个数，，
故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对；
对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：，
故极差与平均数之积为：，故C错；
对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为，
，故，
故，故D对.
故选：ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】-4
【分析】
由三角函数定义求出，利用 “”的变换，将所求的式子化为的齐次分式，化弦为切，即可求出结论.
【详解】
因为角的终边上有一点，所以．
所以
．
故答案为.
本题考查三角函数的定义、三角恒等变换求值，考查计算求解能力，属于基础题．
13．【正确答案】
【详解】，，.
.
根据投影向量公式，.
所以投影向量为.
故答案为:.
14．【正确答案】0.18
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，
则；
（2）由，
当且仅当等号成立，得：，
.
16．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）如图所示：
因为为中点，为中点，，，，
所以
；
因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，
侧棱，且，
所以，，，，
所以
，
所以，即线段长为.
（2）因为，
则
，
，则，
，
则与所成夹角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)0.06
(2)
(3)
【详解】（1）第六组的频率为，
∴第七组的频率为.
（2）由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
身高在第五组的频率为，
身高在第八组的频率为，
则平均数为：
.
（3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.所以.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案.
【详解】（1）证明：连接EM，因为，，
所以，
又因为，所以四边形PABQ为平行四边形，
因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且，
因为，，F为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形EFCM为平行四边形，
所以，又平面MPC，平面MPC，
所以平面MPC.
（2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，，
，，，，
设为平面PQM的法向量，
则，不妨设，可得，
设为平面PMC的法向量，
则，不妨设，可得.
所以，
设平面PQM与平面PMC夹角为，
所以，
即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为.
（3）设，即，
则.
从而.
由（2）知平面PMQ的法向量为，
而直线DN与平面PMQ所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由（2）知：为平面的法向量，
故点N到平面CPM的距离为.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）连接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小为，因为四边形为菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）以O为坐标原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A3,0,0， ，A10,0,3，，，，
则=，设，即
则
设为平面的法向量，
，，
则，不妨设，可得，
要使平面
则，则，
即存在点P，在线段的延长线上，分数
43
44
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
1
3
4
30