2024—2025学年度广东省珠江市高二上学期期中考试数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度广东省珠江市高二上学期期中考试数学试题[含解析]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（ ）
A．14B．15C．23D．25
3．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，
则双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面平面
D．点E到平面的距离为
10．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点在角的终边上，则 .
13．若为偶函数，则实数 .
14．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为 ；的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点．
(1)求圆M的标准方程；
(2)经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程．
16．已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.
17．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若面积为3，求直线的方程．
18．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点，
(1)证明：平面PAB；
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为，
①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.
19．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
（ii）求的面积的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
所以复数的虚部为.
故选.
2．【正确答案】D
【详解】将数据按从小到大的顺序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8个数据，
又，
所以该数据的百分之七十五分位数是第6个和第7个数据的平均数，
即.
故选.
3．【正确答案】C
【详解】延长交于点，则点为的中点，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
故选：C.
4．【正确答案】B
【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.
【详解】因为和互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选:B.
5．【正确答案】A
【详解】由题意得，所以，
又直线的方向向量为，则，
所以，
设直线与直线所成的角为，
则，则，
所以点到直线的距离为．
故选：A．
6．【正确答案】A
由题意知，设双曲线的方程为
．故选A．
7．【正确答案】A
【详解】根据题意设，代入椭圆方程可得；
两式相减可得，整理可得；
又因为的中点坐标为，可得；
因此过两点的直线斜率为，
又和的中点在直线上，所以，
即，可得；
又易知，且，计算可得；
所以椭圆的方程为，代入的中点坐标，得，则其在椭圆内部，此时直线与椭圆相交两点.
故选A.
8．【正确答案】B
【详解】
设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
，
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是.
故选：B.
9．【正确答案】ACD
【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，，显然，
即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；
对于B，，，即有不垂直于，
而平面，因此不垂直于平面，B错误；
对于C，，而，显然，
，即平面，
于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；
对于D，，，设平面的一个法向量，
则，令，得，又，
所以点E到平面的距离，D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】BCD
【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，
所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，
设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，
知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；
C选项：由于，
所以当最小即时，取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则的最大、最小值分别为和，
当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
11．【正确答案】ACD
【分析】对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确，对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误，对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确，对选项D，设，根据勾股定理得到，再解方程即可判断D正确.
【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；
对选项B，点在上，
则，
化简得，所以，，故B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，
则，又，所以，
故，所以，故C正确；
对选项D，设，则，
因为，则，又，
所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】由点在角的终边上可得，，
则，
故答案为.
13．【正确答案】0
【分析】由求出的值，然后再检验即可.
【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数，
所以由得，解得.
当时，，符合题意.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为，
椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：，
联立解得，又，
由余弦定理得：，
即，整理得：，
即，于是，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为；
②为的内心，则为的角平分线，
由，得，
同理：，则，即，
因此，而，即，则，
为的内心，三点共线，即为的角平分线，
延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为，
由，得，即为的角平分线，
则，即为的角平分线，则有，
又，于是，即，
而，即，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）圆M的圆心在直线上，
设，
则，
解得，即，
圆的半径为，
圆M的标准方程为；
（2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
，
解得或，
直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；
（2）利用面积关系可得，结合列式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可知，
则.
可得，整理可得.
由余弦定理知，
且，可得，
由知.
可知为直角三角形，所以.
（2）点在边上且平分，可知，
则，
即，可得.①
又因为，即，可得.②
①代入②得到，解得或（舍去），
所以的周长为.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.
（2）当直线与轴重合时，不符合题意，
设直线的方程为，联立，
可得，
，
设，由韦达定理可得，，
则，
则，
解得，
所以直线的方程为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）取PB中点M，连接AM，EM，
为PC的中点，，，
又，，
，，四边形ADEM为平行四边形，
，平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
，平面PAB，
取AB中点G，连接FG，则，平面PAB，
，，，，
又，，，
①如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，设平面PCD的一个法向量，，
则，取，则，
平面PAB的一个法向量可取，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，
，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
②如图，，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，
又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥体积，
又四棱锥的体积为，所以五面体ABCDEM为.
19．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；
（2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可.
【详解】（1）由题意知：，解得，双曲线方程为.
（2）
因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知，
设，联立，得，
则，且，
（i）
；
（ii）由题可得.
联立可得：，即，同理.
，
故，
且，
.