2026高二数学上学期第一次月考（北师大版2019选必一直线与圆椭圆）含解析

2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆）。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2．已知圆 x2  y2  2ax  4ay  5a2 9  0 上所有点都在第二象限，则 a 的取值范围为（ ） A． y  3x 1 B． y   3x 1 C． y  3 x 1 D． 3 1 y   x  2 2 4．2024 年 10 月 22 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号 A(01) 、 B(01) 、 B(02) 卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号 A(01) 卫星运 动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为 1.3 万千米，卫星运动至近地点距离地球 表面高度约 1.35 万千米，运动至远地点距离地球表面高度约 3.35 万千米，则天平三号 A(01) 卫星运行的轨 迹方程可以为（ ） 5．已知直线l : mx  y  m 1 0 与圆O : x2  y2  4 相交于 A，B 两点，则当 AB 取最小值时， m  （ ） 1 / 4  x2 1．已知椭圆C :  y 1的离心率为 2 k1 2，则 k 的值为（ ）A．4 3B．1 4C．4 或1 4D．4 3或3 4   3 A． 3,    2  3  B． 3,    2 C．,3 D．,33．已知直线l1 ： y  x 1绕点0,1逆时针旋转 5π 12得到直线l2 ，则l2 的斜截式方程为（ ）A．x2  y2  B． 1 9 8x2  y2  1 9 16x  y  D． 2 2 C． 2 2 1 1.35 3.35x  y  2 2 2 2 1 3.5 1.2 1 A． 2 B． 1 C．  D．0 2 6．若圆 x2  y2  4x  4y 10  0上至少有三个不同的点到直线l : ax  by  0 的距离为 2 2 ，则直线l 的斜率 的取值范围为（ ）． A． 2  3,2  3 B． 2  3,2  3 C． 2  3,2  3 D． 2  3,2  3 x2 y2 7．如图，已知椭圆      的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆上的点， △ ꢀ C : 1 a b 0 ꢀ퐹ꢀꢀꢁꢀ的内 a b 2 2 PI 切圆的圆心为 I ，延长 PI ，交 x 轴于点 B ，若  2，则椭圆的离心率等于（ IB 取值范围是（ ） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知直线l : x 3y 1 0 ，则下列说法正确的是（ ） l x  y   之间的距离为 10 A．直线l 在 x 轴上的截距为 1 B．直线l 与直线 1 : 3 2 0 10 C．直线l 的一个方向向量为 n  (1, 3) D．直线l 与直线l2 :3x  y 1 0 垂直 10．已知 P 为圆 O： x2  y2  4 上的动点，直线 l： 4x  3y 12  0与 x，y 轴分别交于 M，N 两点，Q 为直线 MN 上的动点，过点 Q 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，则（ ） A．若点C 0,1，则 PM  PC 的最小值为 10 B． △ ꢀꢀꢀꢀ的ꢀ最小面积是 4  96  28  C．若AOB 120 ，则 Q 点坐标为0, 4或 ,    25 25  2 / 4  A．1 3B．1 2C．1 41 5 D．1 8．在平面直角坐标系中，已知动点 Pa,b到两直线l y  x与l y   x  的距离之和为 5 ，则 1 : 2 : 1 2 2b  a 1 4的  1   7   , ,  A．      17 6   1   7   , ,  B．     17   6 C． 1 7 ,    17 6  1 7 D． ,    17 6  D．四边形QAOB 周长的最小值为 4 11 4  5 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的 x2 另一个焦点.已知椭圆 : 1 C  y  ，其左、右焦点分别是 F1 ， F2 ， P 为椭圆C 上任意一点，直线l 与椭圆C 2 4 相切于点 P ，过点 P 与l 垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M ，F1PM  F2 PM ，点Q0, 6，给出下列四 个结论，正确的是（ ） A． △ ꢀꢀ퐹ꢀꢀꢁꢀ面积的最大值为 3 B． PQ  PF2 的最大值为 8 D．若 F2 R  l ，垂足为   x  y  R x0 , y0 ，则 02 02 4 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知直线l1 : x ay 1 0,l2 :a 1 x 2y 2  0 ．若 l //l ，则实数 a 的值为 ． 1 2 13．已知直线l 的斜率小于0 ，且l 经过点 P6,8，并与坐标轴交于 A, B 两点，C 4, 0，当 △ ꢀꢀꢀꢀ的面积取 得最小值时，直线l 的斜率为 . x2 y2 14．已知 F1 ， F2 分别是椭圆： 2  2 1   0的左、右焦点，P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆在第一象 a b a b 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 已知在 △ ꢀꢀꢀꢀ中， A2,1， B4,3，点G0, 2是此三角形的重心. （1）求边 BC 所在直线的一般式方程； （2）若直线l 经过点 A2,1且在 x 轴、 y 轴上的截距相等，求直线l 的斜截式方程. 16．（15 分） 已知O为坐标原点，直线m1x  y m1 0 过定点 A ，设圆C 的半径为 2，圆心在直线l ： x  y  2  0 上. （1）若圆心C 也在直线 y  2x  5上，求过点 A 与圆C 相切的直线方程； 3 / 4  C．若 PM  MF2 ，则PF1  3 PF2限内的一个交点，延长 PF2 与椭圆交于点 Q，若 PF1  4 QF2 ，则直线PF 的斜率为 ． 2 （2）若圆C 上存在点 M ，使得 OA  OM ，求圆心C 的横坐标的取值范围. 17．（15 分） 已知圆心为 M 的动圆与 C1 ： x  y  2  外切，与 C ： x  y    内切. 2 2 4 1 2 4 81 2 （1）求 M 的轨迹方程； 线 AB 的对称点 P 的坐标. 18．（17 分） 已知圆C 过点 M (1, 4), N(3, 2) ，且圆心在直线4x  3y  0 上． （1）求圆C 的方程； （3）若Q 是 x 轴上的动点，QR,QS 与圆C 相切，切点分别为 R,S ，试问直线 RS 是否恒过定点？若是， 求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19．（17 分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称 为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三 角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中 （C₁对应图 1， C 对应图 2）. 2 x y x2 y2 2 2 （1）判断椭圆 1 : 1 C   与椭圆C2 :  1是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请 4 3 16 12 说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； x y 2 2 2 2 x y （3）已知椭圆C1 : 2  2 （1 a  b  0），椭圆 2 : 2 2 1 0 C a b C 是“相似  （     ）的离心率为e ，C₁与 2 a b a' b' 椭圆”，且C1 与C 的相似比为 k :1，若 △ ꢀꢀ퐹ꢀꢀ ꢀ的面积为S ，求 △ ꢀꢀ2ꢀ2퐵ꢀꢀ2퐹ꢀ的面积（用e ， k ，S 表示）. 2 4 / 4（2）过点N   3 5 , 的直线与 M 的轨迹交于 A ， B 两点，且 N 为线段 AB 的中点，求坐标原点O关于直  2 2 （2）已知平面上有两点 A(2, 0), B(2, 0) ，点 P 是圆C 上的动点，求AP 2  BP 2 的最小值；