四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
高 2024 级高二上第一学月考试
数学
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
考生必须保持答题卡的整洁。
第 I 卷选择题（58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
某班级有40 名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40 名学生中抽取5 人进行家访，则同学a
被抽到的可能性为
A． 1
40
B． 1
4
C． 1
5
D． 1
8
某学校有高中学生 1500 人，初中学生 1000 人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了 100 人，则在高中学生中抽取了
A．150 人B．200 人C．250 人D．300 人 3．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为 001，002，003，…、499，500 的 500 盒口罩中，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 12 行至第 13 行）选取 10 个样本进行抽检，选取方法是从随机数表第 12 行第 5 列的数字开始由左向右读取，则选出的第 3 个样本的编号为
若数据 x1  m 、x2  m 、L 、xn  m 的平均数是5 ，方差是4 ，数据3x1 1、3x2 1、L 、3xn 1的平均数是10 ，标准差是s ，则下列结论正确的是
16 00 11 66
14
90
84 45 11
65
73
88
05 90 52
27
41
14
86 22 98
12 22 08 07
52
74
95 80 35
69
68
32
50 61 28
47
39
75
34 58 62
A．116
B．148
C．445
D．222
m  2 ， s  6
m  2 ， s  36
m  4 ， s  6
m  4 ， s  36
若a, b 2, 3, 4,8, 9 ，则lga b 为整数的概率为
A． 3
25
B． 3
10
C． 8
25
D． 2
5
已知 A, B,C 为随机事件， A 与 B 互斥， B 与C 互为对立，且 P  A  0.2, P C   0.7 ，则 P  A ∪ B 
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9
→→→ 
→ →  →
x  2 y
已知e1 与e2 是两个不共线的向量，且向量 xe1
3e2 , e1ye2 同向，则
的最小值为
6
6
A．12B．6C． 2D．
在三棱锥S  ABC 中， AB  BC ， AB  BC  2 ， SA  SC  2 2 ，二面角 B  AC  S 的大小为 5π ，则三
6
棱锥S  ABC 外接球的表面积为
88π
9
104π
9
56π
3
104π
3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 100 份，将成绩 分成 6 组，第 1 组为40, 50 ，第 2 组为50, 60 ，…，第 6 组为90,100 ，画出如图所示的频率分布直方图，则
m  0.01
第 6 组有 15 个样本
从第 5，6 组中，按组别分层抽取 6 个样本，则应在第 5 组抽取 3 个样本 D．估计参赛选手成绩的中位数在70,80 内
从装有除颜色外完全相同的 2 个红球（编号为 1，2）和 2 个白球（编号为 3，4）的口袋内任取 2 个球，甲表示事件“恰有 1 个白球”，乙表示事件“恰有 2 个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到 了编号为 1 的小球”，则
甲和乙为互斥而不对立事件B．丙和丁为互斥而不对立事件
C． P 甲  1
3
D．甲和丁为独立事件
如图所示，已知点A 为圆台O1O2 下底面圆周上一点，S 为上底面圆周上一点，且SO1  1, O1O2  2 2, AO2  2 ，
则
该圆台的体积为14 2π
3
直线 SA 与直线O O 所成角最大值为π
1 23
2
该圆台有内切球，且半径为
直线 AO 与平面SO O 所成角正切值的最大值为 2
11 22
第 2 页，共 4 页
第 II 卷非选择题（92 分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知 a 是实数，并且 2  i
3  ai
是实数，则a ．
已知一组数据7,7,8,9,10,11,13,16 ，则这组数据的80% 分位数是.
3
直角梯形中， AB  BC  2 ， AD ， CD  1，点O ， E 为 AB, BC 的中点， F 在 BC 边上运动(包含端点)，则OE  OF 的取值范围为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为 0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立.
(1)试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大； (2)求甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概率.
16．（15 分）
已知V ABC 中， a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2a sin A  2b  csin B  2c  bsin C ，
(1)求角A 的大小；
(2)设点 D 为 BC 上一点， AD 是V ABC 的角平分线，且b  3, c  6 ，求 AD 的长度．
17．（15 分）
2025 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于 2025 年 2 月 6 日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至 2025 年 5 月 5 日，总票房（含港澳台和海外票房）已超 158.24 亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了 100 名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 a 的值与样本中年龄的第 85 百分位数.
(2)从样本中年龄为30, 40 ， 40, 50 ， 50, 60 的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则
年龄在40, 50 中的观众应抽取多少人？
(3) 若样本中年龄在0,10 的观众年龄的平均数是 6，方差是 2，年龄
在50, 60 的观众年龄的平均数是 57，方差是 5，求这两组样本总的平均数 x 和方差s2 .
18．（17 分）
如图，在直四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形， ABC  60 .
证明： AC  平面 BB1D1D ；
若 BC  BB1  2 ，求二面角 B  AC  B1 的正切值；
若点 P 在 A1D 上， BC1 ∩ CB1  E ，直线 BP 与平面 AB1C 交于点 F，求证： C1P∥EF .
19．（17 分）
a, AC
如图，在V ABC 中， AP  PB, AO  2OC ，点 R 为 BO 和CP 的交点，设 AB  →
 b ．
已知 BR  λBO, PR  μPC ，求λ,μ的值；
→→
若 a  4 ， b  6 ， a 与b 的夹角为60 ，求S△ ABR ；
r→→
 π π 
–––→ CH –––→ CB
若 a  2 ， b  1， H 在边 BC 上， RH  BC ，θ为a, b 的夹角，θ ,  ，求
的取值范围．
 3 2 
第 4 页，共 4 页
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
A
C
B
C
C
一．单选题
高 2024 级高二上第一学月考试数学参考答案
二．多选题
题号
9
10
11
答案
AD
AD
ACD
三．填空题
12．  3
2
13．1314．  1 , 3 
 
 2 2 
15．（1）解：记甲被公司录取为事件 A，乙被公司录取为事件 B，则 P  A  0.8  0.5  0.4 ，
P  B  0.6  0.7  0.42 ，····································
·4 分
因为 P  A  P B ，故乙被该公司录取的概率更大.
············································
··6 分
（2）解：由（1）可知， P  A  1 0.4  0.6 ，
P B   1 0.42  0.58 ，10 分
故甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概
率：············································
·11 分
P  P  A P B   P  A P  B  0.4  0.58  0.6  0.42  0.484 .·····················
·13 分
解：（1）在V ABC 中，由正弦定理及2a sin A  2b  csin B  2c  bsin C 得： 2a2  (2b  c)b  (2c  b)c ，化简可得：
b2  c2  a2  bc ，······································
·4 分

b2  c2  a21
由余弦定理得csA   ，又0Aπ ，所以
2bc2
A  2π7 分
3
AD 是V ABC 的角平分线，则
BAD  DAC  π ，·····································
3
···9 分
由SV ABC  SV ABD  SVCAD 可得
1 bcsin 2π  1 c  AD sin π  1 b  AD sin π1
232323
2 分
因为b  3 ， c  6 ，即有18  6 AD  3AD ，故
AD  2 .··········································· 15 分
解：（1）由题意可得10 0.010  a  0.022  0.025  0.020  0.005  1，解得
a  0.018 ，2 分
由频率分布直方图可知0, 40 的频率为0.75 ，而40, 50 的频率为
0.2 ，3 分
所以第 85 百分位数在区间40, 50 内，设第 85 百分位数为
m ，4 分
则0.75  0.02m  40  0.85 ，解得m  45 ，所以第 85 百分位数为
45 ；5 分
（2）由频率分布直方图可知年龄为30, 40 ， 40, 50 ， 50, 60 的三组观众频率之比为：
5 : 4 :1 ，6 分
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则年龄在40, 50 中的观众应抽取 4
人；8 分
由频率分布直方图可知0,10 的频率为0.1 ， 50, 60 的频率为
0.05 ，9 分
所以
x  6 
0.1
 57 
0.05
 23 ，······························
0.1 0.050.1 0.05
·12 分
s2 0.1 2  6  232  0.055  57  232   581.····················
0.1 0.05 0.1 0.05 
·15 分
解：（1）因为直四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中， BB1  底面 ABCD ， AC  底面 ABCD ，所以 AC  BB1 .
因为菱形 ABCD ，所以 AC ⊥BD ， BD ∩ BB1  B, BD, BB1  平面 BB1D1D ，所以 AC  平面
BB1D1D4 分
设 AC ∩ BD  O ，连接 B1O ，因为 B1O  平面 BB1D1D ，所以 AC  B1O ，且 BO  AC ， BO ∩ B1O  O ，
所以∠BOB1 是二面角 B  AC  B1 的平面角.
因为ABC  60 ， AB  BC ，所以V ABC 是正三角形，
BC 2  OC 2
3
所以 AC  2  2OC ， BO .
因为 BB  BD ，在直角三角形中， tan BOB  BB1  2  2 3
3
1
所以二面角 B  AC  B1 的正切值为
1BO3
2 3 .············································
3
·10 分
如图，连接 A1C1 ， C1D ，在直四棱柱中， B1C1 ∥ BC ∥ AD ， B1C1  BC  AD ，所以四边形 B1C1DA 是平行四边形，
所以C1D ∥ AB1 ， AB1  平面 AB1C ， C1D  平面 AB1C ，所以C1D / / 平面 AB1C .
同理， A1C1 / / 平面 AB1C
因为 A1C1 ∩ C1D  C1 ， A1C1 ， C1D  平面 A1C1D ，所以平面 AB1C / / 平面 A1C1D ，因为平面 BPC1  平面 AB1C  EF ，平面 BPC1  平面 A1C1D  C1P ，所以
C1P∥EF17 分
解：（1）因为 BR  λBO, PR  μPC ， AP  PB, AO  2OC ，


2
–––→ –––→–––→ –––→ 2 –––→ –––→ 
–––→ –––→–––→ –––→–––→1 –––→
 –––→1 –––→ 
所以 AR  AB  λ AO  AB  λ
 3
AC  AB  ， AR  AP  μ AC  AP  AR 
AB  μ AC 
2
AB  ，

–––→–––→2λ–––→ –––→ 1μ –––→–––→
所以 AR  1λ AB 
3
AC, AR   2  AB  μAC ，


1λ
1μ

所以


λ 3
2
2 λ μ
3
，解得



μ

4 .···········································
1
2
·5 分
→→
因为 a  4 ， b  6 ， a 与b 的夹角为60 ，
所以
SV ABC
 1 AB  AC sinBAC  1  4  6 sin60∘  6 3 ，·······················
22
·7 分
由（1）知，
–––→3 –––→ –––→–––→2 –––→
BR  BO, AO  2OC  AC ，·································
43
·8 分
所以
SV ABR
 3 S
4
V ABO
 3  2 S
43
V ABC
 3  2  6
3
43
 3 3 .··························
·10 分
–––→
由（1）知， PR 
所以
1 –––→
PC ，
2
–––→
RC 
1 –––→1
PC 
–––→ –––→

AC  AP 
1  –––→
 AC 
1 –––→ 
AB  
1 –––→
AC 
1 –––→
AB 
1 →1 →
b  a .·················
222 
·12 分
22424
kCB, a
设CH → 与b 的夹角为θ，其中
 
θ  π , π  ，·········································
 3 2 
·13 分

–––→–––→–––→–––→–––→–––→–––→ –––→
则 RH  RC  CH  RC  kCB  RC  k AB  AC
 1 –––→1 –––→–––→ –––→  
1  →  1 →
，
AC AB  k AB  AC
24
a
而 BC  AC  AB  b  → ，
  k   a   k  b
42

–––→ –––→
1  →  1
 →→→
因为 RH  BC ，所以 RH  BC   k 
 a  
 k  b   b  a   0 ，
4  2 
即 1 
 →2 1
 →2
3  → →
，
 4k  a   2  k  b   2k  4  a  b  0

所以 1  k  22   1  k 12   2k  3  2 csθ 0 ，所以
 4 24 

csθ 10k  315 分
8k  3
因为θ  π , π  ，所以csθ 0, 1  ，所以0  10k  3  1 ，又0  k  1，解得

 3 2 
2 

8k  32
1  k  3 ，16 分
–––→ CH –––→ CB
410
所以的取值范围为

 1 , 3  .···········································
 4 10 
·17 分