河南省驻马店市河南驻马店经济开发区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）已知点，则直线AB的斜率是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知两条直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1与l2平行，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．±3
4．（5分）若直线ax+y﹣4＝0与直线x﹣y﹣2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
5．（5分）以点C（﹣1，﹣5）为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（ ）
A．（x+1）2+（y+5）2＝9B．（x+1）2+（y+5）2＝16
C．（x﹣1）2+（y﹣5）2＝9D．（x+1）2+（y+5）2＝25
6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A．B．2C．D．4
7．（5分）若圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0与x2+y2+2x﹣1＝0相交于A、B两点，则公共弦AB的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣）2＝4，过直线l：4x﹣3y＝0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．（6分）直线l经过点（2，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．3x+2y＝0B．2x+3y＝0C．x﹣y﹣5＝0D．x+y+1＝0
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4y＝0，直线l过点（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为2
B．圆C的圆心坐标为（0，﹣2）
C．直线l被圆C截得的最短弦长为
D．直线l被圆C截得的最长弦长为4
（多选）11．（6分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率B．△F2MN的周长为12
C．△F2MN的面积为D．△F2MN为等边三角形
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（5分）已知点A（4，12），P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ．
13．（5分）直线l经过点P（3，6），且与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相切，则直线l的方程为 ．
14．（5分）已知点M是圆x2+y2＝1上的动点，点N是圆（x﹣5）2+（y﹣2）2＝16上的动点，点P在直线x+y+5＝0上运动，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
四、解答题
15．（15分）已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）．
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
16．（15分）已知直线l1：（a+6）x+2y+8＝0，直线l2：3x﹣（a﹣1）y+4＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
17. （15分） 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
（2）过点（3，0），离心率e＝；
（3）过点M（1，2），且与椭圆＝1有相同离心率．
18．（15分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．
19．（17分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣2y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值．
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．
∴tanθ＝．
∴θ＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
2．（5分）已知点，则直线AB的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用斜率公式计算即可．
【解答】因为，
所以直线AB的斜率为．
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率公式，属于基础题．
3．（5分）已知两条直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1与l2平行，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．±3
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：两条直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，l1与l2平行，
则1×3＝m（m﹣2），解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，l1和l2重合，不符合题意，
当m＝﹣1时，l1和l2不重合，符合题意，
故m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
4．（5分）若直线ax+y﹣4＝0与直线x﹣y﹣2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【分析】联立直线方程，求出交点坐标，然后根据点的位置即可求解．
【解答】解：∵直线ax+y﹣4＝0与直线x﹣y﹣2＝0的交点位于第一象限，
∴a≠﹣1，
由可得，，
解可得，﹣1＜a＜2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了两直线的交点坐标的求解，属于基础试题．
5．（5分）以点C（﹣1，﹣5）为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（ ）
A．（x+1）2+（y+5）2＝9B．（x+1）2+（y+5）2＝16
C．（x﹣1）2+（y﹣5）2＝9D．（x+1）2+（y+5）2＝25
【分析】由已知可得圆心坐标与半径，再由圆的标准方程得答案．
【解答】解：由题意，圆心坐标为点C（﹣1，﹣5），半径为5，
则圆的方程为（x+1）2+（y+5）2＝25．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程，是基础题．
6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A．B．2C．D．4
【分析】利用配方法将圆的方程化成标准形式，再结合垂径定理与勾股定理，求解即可．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0知，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，如下图：
其中O为坐标原点，圆心为M（1，1），AB是过原点的一条弦，
所以，
当AB⊥MO时，AB是所有经过坐标原点的弦中最短的弦，此时．
故选：B．
【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线截圆所得弦长的问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（5分）若圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0与x2+y2+2x﹣1＝0相交于A、B两点，则公共弦AB的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0与x2+y2+2x﹣1＝0相交于A、B两点，
圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0，配方整理得（x+1）2+（y﹣2）2＝10，
所以圆心为（﹣1，2），半径为，
圆x2+y2+2x﹣1＝0，配方整理得（x+1）2+y2＝2，
所以圆心为（﹣1，0），半径为，
所以两圆圆心距为，
所以两圆相交，两圆方程作差得到y＝﹣1，即公共弦方程为y＝﹣1，
又圆（x+1）2+（y﹣2）2＝10的圆心（﹣1，2）到y＝﹣1的距离为3，
所以公共弦AB的长为．
故选：B．
【点评】本题考查了两相交圆的公共弦长的计算，属于中档题．
8．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣）2＝4，过直线l：4x﹣3y＝0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小，可求△PCQ的面积最小值．
【解答】解：由圆C：（x﹣4）2+（y﹣）2＝4，得圆心C（4，），半径r＝2，
圆心C（4，）到直线l：4x﹣3y＝0的距离为d，
则d＝＝3，
∵|PQ|＝＝，
∴当直线l与CP垂直，即|CP|＝d时，|PQ|最小，故|PQ|min＝＝，
S△CPQ＝×|PQ|×|CQ|＝×|PQ|×2＝|PQ|≥．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属中档题．
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．（6分）直线l经过点（2，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．3x+2y＝0B．2x+3y＝0C．x﹣y﹣5＝0D．x+y+1＝0
【分析】分直线过原点和不过原点时截距相等和截距相反三类，设直线的方程，将点的坐标代入，求出参数的值，即求出直线的方程．
【解答】解：截距都为0时，即直线过原点，则直线的方程为y＝﹣x，即3x+2y＝0；
当截距不为0时，且截距相等时，设直线的方程为x+y＝a，将点（2，﹣3）代入方程，可得2﹣3＝a，即a＝﹣1，所以此时方程为x+y+1＝0；
当截距不为0时，且截距相反时，设直线的方程为x﹣y＝b，将点（2，﹣3）代入方程，可得2﹣（﹣3）＝b，即b＝5，所以此时方程为x﹣y﹣5＝0．
故选：ACD．
【点评】本题考查分类讨论及截距绝对值相等的直线方程的求法，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4y＝0，直线l过点（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为2
B．圆C的圆心坐标为（0，﹣2）
C．直线l被圆C截得的最短弦长为
D．直线l被圆C截得的最长弦长为4
【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断．
【解答】解：由已知圆的标准方程是x2+（y﹣2）2＝4，圆心为C（0，2），半径为2，A正确，B错误；
记点（1，1）为M，
，
当CM⊥l时弦长最短，最短弦长为，当直线l过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
（多选）11．设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率B．△F2MN的周长为12
C．△F2MN的面积为D．△F2MN为等边三角形
【分析】利用椭圆的性质逐项进行计算可判断结果．
【解答】解：由椭圆C：得a＝3，b＝，c＝，
所以e＝＝，故A正确；
△F2MN的周长为4a＝12，故B正确；
△F2MN的面积＝××＝××2＝4，故C错误；
＝＝4，＝＝2a﹣＝4，所以△F2MN为等边三角形，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆的性质，属基础题．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（5分）已知点A（4，12），P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 （﹣1，0）或（9，0） ．
【分析】根据题意设P（x，0），再利用两点间的距离公式即可求出x的值，从而得到点P的坐标．
【解答】解：∵点P在x轴上，设P（x，0），
∵点P与点A的距离等于13，
∴，解得x＝9或﹣1，
∴点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）或（9，0）．
【点评】本题考查的知识点：两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）直线l经过点P（3，6），且与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相切，则直线l的方程为 x＝3或3x﹣4y+15＝0 ．
【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．
【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0化为标准式可得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
则圆C的圆心坐标为（1，2），半径为2，
又直线l经过点P（3，6），且与圆C相切，
显然切线与x轴不平行，
设切线方程为x＝k（y﹣6）+3，
则圆心（1，2）到直线x＝k（y﹣6）+3的距离为2，
则，
即k＝0或，
即直线l的方程为x＝3或3x﹣4y+15＝0．
故答案为：x＝3或3x﹣4y+15＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
14．（5分）已知点M是圆x2+y2＝1上的动点，点N是圆（x﹣5）2+（y﹣2）2＝16上的动点，点P在直线x+y+5＝0上运动，则|PM|+|PN|的最小值为 ﹣5 ．
【分析】根据圆的性质可得|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|﹣5，求点O（0，0）关于直线x+y+5＝0对称的点为B，结合两点连线距离最短分析求解．
【解答】解：由题意可知：圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，
圆（x﹣5）2+（y﹣2）＝16的圆心A（5，2），半径r2＝4，
则|PM|≥|PO|﹣1，|PN|≥|PA|﹣4，
即|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|﹣5，
设点O（0，0）关于直线x+y+5＝0对称的点为B（a，b），
则，解得a＝b＝﹣5，即B（﹣5，﹣5），
因为|PO|＝|PB|，则，
当且仅当A，B，P三点共线时，等号成立，
所以|PM|+|PN|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查三点共线时线段和最小的性质及圆的性质的应用，属于中档题．
四、解答题
15．（15分）已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）．
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：（1）因为直线AB的斜率为，
所以直线AB的倾斜角为．
（2）如图：
当点D在第一象限时，kAB＝kCD，kAC＝kBD，
设D（x，y），
则，解得，
故点D的坐标为（3，5）．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
16．（15分）已知直线l1：（a+6）x+2y+8＝0，直线l2：3x﹣（a﹣1）y+4＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
【分析】（1）根据平行关系得到关于a的方程，求解出a的值并进行检验；
（2）根据垂直关系得到关于a的方程，由此求解出结果．
【解答】解：（1）因为l1∥l2，所以﹣（a+6）×（a﹣1）﹣2×3＝0，
整理得a2+5a＝0，解得a＝0或a＝﹣5，
当a＝0时，l1：6x+2y+8＝0，l2：3x+y+4＝0，l1，l2重合，舍去，
当a＝﹣5时，l1：x+2y+8＝0，l2：3x+6y+4＝0，符合题意，
故a＝﹣5．
（2）因为l1⊥l2，
所以3（a+6）﹣2（a﹣1）＝0，
解得a＝﹣20．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
（2）过点（3，0），离心率e＝；
（3）过点M（1，2），且与椭圆＝1有相同离心率．
【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解；（2）利用离心率设a＝2k，b＝，再分焦点在x轴，y轴两种情形求解．
【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，
长轴长为4，短轴长为2，即2a＝4，2b＝2，则有a＝2，b＝1，
故要求椭圆的标准方程为+x2＝1；
（2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为．则，所以，b2＝a2﹣c2＝3，方程为．
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，则，解得，故方程为．
（3）离心率为．设a＝2k，c＝，则．
若焦点在x轴上，方程为，代入（1，2），得，所以方程为．
若焦点在y轴上，方程为，代入（1，2），得，所以方程为．
18．（15分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．
【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．
（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．
【解答】解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为 ，
∵，有 ，
∴，解得 m＝4．
【点评】本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．
19．（17分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣2y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值．
【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，从而可求出r的取值范围；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+6x﹣2y+6＝0的标准方程为（x+3）2+（y﹣1）2＝4，则圆心C1（﹣3，1），r1＝2，
圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0），则圆心C2（4，5），r2＝r，
所以．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，
即，解得，
所以r的取值范围为；
（2）已知直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，
由Δ＝36﹣20（1+k2）＝16﹣20k2＞0，得，
所以，
所以，解得，
因为，所以．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．