2024_2025学年江苏省扬州市八年级数学上册第二次月考试题【附答案】

这是一份2024_2025学年江苏省扬州市八年级数学上册第二次月考试题【附答案】，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2.“2的算术平方根”可用数学式子表示为（ ）
A.2B.32C.+22D.±2

3.点Pm+3,m+1在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（ ）
A.2,0B.0,−2C.4,0D.0,−4

4.下列各图能表示y是x的函数的是（ ）
A.B.
C.D.

5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3 ，BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A.5B.6C.12D.13

6.如图，战机在空中展示的图形是轴对称队形，以飞机B,C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为50,m，则飞机D的坐标为（ ）
A.−50,mB.50,−mC.−50,−mD.m,−50

7.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如0,0，1,0，1,1，2,2，2,1，2,0，3,0，…，根据规律探索可得，第31个点的坐标为（ ）
A.7,5B.7,4C.7,3D.7,2

8.将两个等边△AGF和△DEF按如图方式放置在等边三角形ABC内．若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道（ ）
A.线段AD的长B.线段EF的长C.线段FH的长D.线段DG的长
二、填空题

9.点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为2、3，则点P的坐标是___________．

10.用四舍五入法把1.732精确到百分位，所得的近似数是____________．

11.计算：9−π−3.140=______________．

12.函数y=x−1x的自变量x的取值范围是____________．

13.若y关于x的函数y=m−2xm2−3+2m−1是一次函数，则m的值为_______________．

14.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为______________．

15.如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF=3，则AD的长为___________________

16.如图，△ACD是等边三角形，若AB=DE=5，BC=AE，∠E=110∘，则∠BAE=____________​∘．

17.如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．当梯子的顶端沿墙面下滑____________米后，梯子处于A1B1位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角平分线所在的直线轴对称．

18.如图，等边三角形ABC的边长为8，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≅△A1BC1．若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是________________．
三、解答题

19.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A−4,5,C−1,3．
（1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．

20.一个正数x的两个平方根分别是2m+1与3m−6，求x和m的值．

21.如图，已知∠C=∠F=90∘，∠A=51∘，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≅△DEF．
（2）求∠BOF．

22.（1）如图，在“4×4”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图（1）要求只有1条对称轴，图2要求只有2条对称轴）．
（只有1条对称轴） （只有2条对称轴）
图⑴ 图⑵
⑵如图，A、B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等．分别在MN上求一点P，并满足如下条件：①在图⑶中求一点P使得PA+PB最小； ②在图⑷中求一点P使得｜PA−PB｜最大．
（不写作法，保留作图痕迹）

23.如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．如表是测得的指距与身高的一组数据：
（1）你能确定身高ℎ与指距d之间的函数关系式吗？
（2）按照这个数据，你觉得指距能达到50吗？为什么？说出你的理由．

24.如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=5，AC=9，求AD的长．

25.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的负半轴上，点A在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8．在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．

26.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
【思想应用】
1已知a，b均为正实数，且a+b=2，求a2+1+b2+4的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，CA⊥AB，DB⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=a，BE=b．
①用含a的代数式表示CE=________，用含b的代数式表示DE=________．
②据此写出a2+1+b2+4的最小值：________．
【类比应用】
2根据上述方法，求代数式x2+16+5−x2+36的最小值．

27.（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；27.
（2）拓展：如图②，将1中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
27.
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

28.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−B−C−A运动，设运动时间为t秒t>0．
（1）若点P在BC上，且满足PA=PB，则此时t的值；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在点P运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省扬州市八年级数学第二次月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
轴对称图形
【解析】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．
【解答】
解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
求一个数的算术平方根
【解析】
本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求解，正确理解算术平方根表示方法是解题的关键．
【解答】
解：2的算术平方根是2，
故选：A．
3.
【答案】
A
【考点】
已知点所在的象限求参数
【解析】
由纵坐标为0可得：m+1=0，进而求解m的值，则问题得解．
【解答】
解：由点Pm+3,m+1在直角坐标系的x轴上，可得：
m+1=0，解得：m=−1，
∴m+3=−1+3=2，
∴点P2,0；
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的概念
函数图象识别
【解析】
本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念可直接进行排除选项．
【解答】
解：解：A、C、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，B选项符合函数的概念，
故选：B．
5.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的应用
根据正方形的性质求面积
【解析】
利用勾股定理即可求解.
【解答】
解：∵∠C=90∘，
∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，
∴正方形面积S=AB2=13，
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
坐标与图形变化-对称
【解析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】
解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为50,m，
∴飞机D的坐标为−50,m，
故选：A．
7.
【答案】
D
【考点】
规律型：点的坐标
【解析】
本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．观察点的排列规律，算出前n列的总点数，再找出第31个点位置，求解．
【解答】
解：各列的点数分别为：1、2、3、4、……
则前n列的点数之和为：nn+12，
当nn+12≤31，n的最大整数解为：7，
∴31在第8列，
∴第31个点的坐标为：7,2
故选：D
8.
【答案】
A
【考点】
等边三角形的性质与判定
全等的性质和SAS综合（SAS）
【解析】
此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接GE，由等边三角形的性质得AF=GF，DF=EF，∠AGF=∠AFG=∠DFE=60∘，推导出∠AFD=∠GFE，即可证明△AFD≅△GFE，得AD=GE，∠B=∠A=∠FGE=60∘，则∠BGE=60∘，可证明△GBE是等边三角形，则BG=BE=GE=AD，所以AF+AB+BE+EF−GF+DF+DG=AD+BG+BE=3AD，若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道线段AD的长，于是得到问题的答案．
【解答】
解：连接GE，如图，
∵△AGF和△DEF都是等边三角形，
∴AF=GF，DF=EF，∠AGF=∠AFG=∠DFE=60∘，
∴∠AFD=∠GFE=60∘−∠DFG，
在△AFD和△GFE中，
AF=GF∠AFD=∠GFEDF=EF ，
∴△AFD≅△GFESAS，
∴AD=GE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠FGE=60∘，
∴∠BGE=180∘−∠FGE−∠AGF=60∘，
∴∠BEG=∠BGE=∠B=60∘，
∴△GBE是等边三角形，
∴BG=BE=GE=AD，
∴AF+AB+BE+EF−GF+DF+DG=AD+BG+BE=3AD，
∴四边形ABEF和三角形DGF的周长差为3AD，
∴若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道线段AD的长，
故选：A．
二、填空题
9.
【答案】
−3,2
【考点】
写出直角坐标系中点的坐标
【解析】
根据点的坐标特征求解即可．
【解答】
解：∵点P在第二象限，
∴横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵到x轴，y轴的距离分别为2、3，
∴点P的坐标是−3,2．
故答案为：−3,2．
10.
【答案】
1.73
【考点】
求一个数的近似数
【解析】
本题考查了近似数，正确理解近似数的表示是解题的关键，将千分位上的数字进行四舍五入，并注意有效数字．
【解答】
解：根据题意把千分位上的数字进行四舍五入得，1.732≈1.73．
故答案为：1.73．
11.
【答案】
2
【考点】
求一个数的算术平方根
零指数幂
【解析】
本题考查了算术平方根和零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
根据算术平方根和零指数幂运算法则进行计算．
【解答】
解：9−π−3.140=3−1=2，
故答案为：
12.
【答案】
x>0
【考点】
分式有意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，x≥0且x≠0，
解得x>0，
故答案为x>0
13.
【答案】
−2
【考点】
根据一次函数的定义求参数
【解析】
本题考查根据一次函数的定义求参数，根据一次函数的定义，得到m−2≠0,m2−3=1，进行求解即可．
【解答】
解：由题意，得：m−2≠0,m2−3=1，
解得：m=−2；
故答案为：−2
14.
【答案】
10−1/−1+10
【考点】
在数轴上表示实数
勾股定理的应用
矩形的性质
【解析】
此题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等知识点．根据矩形的性质得到BC=AD=1,∠ABC=90∘，根据勾股定理求出AC，再求出答案即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=1，
∴BC=AD=1,∠ABC=90∘，
∴AC=BC2+AB2=12+32=10，
∴AM=AC=10，
∴点M表示的数为10−1，
故答案为：10−1．
15.
【答案】
6
【考点】
直角三角形斜边上的中线
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接AE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=2EF，熟记性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AE，
∵AB=AC，点E为线段BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AED=90∘，
∵点F分别为线段AD的中点，
∴AD=2EF=6，
故答案为：6
16.
【答案】
130
【考点】
全等的性质和SSS综合（SSS）
等边三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
由等边三角形性质得出AC=AD,∠CAD=60∘，再由SSS证得△ABC≅△DEA，得出∠BAC=∠ADE，由三角形内角和定理求出∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠ADE=70∘，即可得出答案．
【解答】
解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD,∠CAD=60∘，
在△ABC和△DEA中，
AB=DEBC=AEAC=AD ，
∴△ABC≅△DEASSS，
∴∠BAC=∠ADE，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠ADE=180∘−110∘=70∘，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=70∘+60∘=130∘，
故答案为：130∘．
17.
【答案】
1.7
【考点】
勾股定理的应用——求梯子滑落高度
根据成轴对称图形的特征进行求解
【解析】
本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出AC的长是关键．
根据勾股定理可得AC的长，再根据轴对称的性质可得A1C=BC，再用AC减去A1C可得答案．
【解答】
解：由题意得：AC=AB2−BC2=2.52−0.72=2.4(米)，
∵梯子处于A1B1位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角平分线所在的直线轴对称，
∴A1C=BC=0.7米，
∴AC−A1C=2.4−7=1.7(米)，
即当梯子的顶端沿墙面下滑1.7米后，梯子处于A1B1位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB的角平分线所在的直线轴对称．
故答案为：1.7．
18.
【答案】
16
【考点】
全等的性质和SAS综合（SAS）
等边三角形的性质
【解析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，连接DA1，由全等和等边三角形证明△DBC≅△DBA1SAS，得到DC=DA1，则AD+CD=AD+DA1≥AA1，当D与B重合时，AD+CD=AD+DA1=AA1=16最小．
【解答】
解：连接DA1，
∵等边三角形ABC的边长为8，△ABC≅△A1BC1，
∴BA1=BC=AB=8，∠ABC=∠A1BC1=60∘，
∴∠C1BC=180∘−∠ABC−∠A1BC1=60∘，AA1=BA1+AB=16，
∴∠C1BC=∠A1BC1=60∘，
∵BD=BD，
∴△DBC≅△DBA1SAS，
∴DC=DA1，
∴AD+CD=AD+DA1≥AA1，
∴当D与B重合时，AD+CD=AD+DA1=AA1=16最小，
故答案为：16．
三、解答题
19.
【答案】
（1）见解析
（2）图见解析，B12,1
（3）4
【考点】
三角形的面积
写出直角坐标系中点的坐标
坐标与图形性质
坐标与图形变化-对称
【解析】
（1）根据所给坐标建立直角坐标系即可；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可，根据图形即可得到B1的坐标；
（3）利用网格求出三角形面积即可．
【解答】
（1）解：如图，根据A−4,5,C−1,3，点C向右平移1个格为y轴，点C向下平移3个格为x轴，两轴交点为原点O；
（2）如图，△A1B1C1即为所求，
∴B12,1；
（3）S△A1B1C1=3×4−12×2×3−12×1×2−12×2×4=4．
20.
【答案】
x=9，m=1
【考点】
已知一个数的平方根，求这个数
解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【解析】
本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得2m+1+3m−6=0，即可求解；理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
【解答】
解：由题意，
得2m+1+3m−6=0，
解得m=1，
∴2m+1=3，
∴x=32=9.
21.
【答案】
（1）见解析
（2）78∘
【考点】
三角形的外角的定义及性质
全等的性质和HL综合（HL）
【解析】
（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【解答】
解：（1）证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，
∵∠C=∠F=90∘，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
AC=DFAB=DE ，
∴Rt△ABC≅Rt△DEFHL；
（2）解：∵∠C=90∘，∠A=51∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=90∘−51∘=39∘，
由1知：Rt△ABC≅Rt△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，
∴∠DEF=39∘，
∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39∘+39∘=78∘，
∴∠BOF的度数为78∘．
22.
【答案】
见解析
【考点】
轴对称的性质
作图-轴对称变换
利用轴对称设计图案
【解析】
此题暂无解析
【解答】
试题分析：
1 对于图1，先选择一条直线作为待作图形的对称轴，再将已有图形按所选择的对称轴作轴对称，若所得图形只有一条对称轴，则可按该图形填涂空白方格，若所得图形存在不只一条对称轴，则重新选择对称轴尝试. 对于图2，可以先分析原有图形的对称轴，再以原有图形的对称轴为参照，观察方格添加的位置是否引起原图形对称轴数量的变化，从而确定图形形状.
2 对于图3，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之和大于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B′；然后，连接点B′与点A，所得线段AB′与直线MN的交点即为所求点P. 对于图4，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之差小于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B′；然后，连接点B′与点A，并延长所得线段AB′至与直线MN相交，此交点即为所求点P.
试题解析：
1 如图所示：
2 如图所示，点P即为所求：
(注：图中给出了一种尺规作图的解法. 在题目中无明确要求的前提下，也可以使用三角板等工具进行相关的轴对称作图.)
点睛：
本题的第1小题考查了利用轴对称性质进行图案设计的相关知识，重点在于能否准确地找到所设计图案的全部对称轴. 本题的第2小题是一个重点题目，这两种问题的作图解法可以灵活整合到多种类型题目中. 要对这两种问题的解法熟练掌握，对其推理过程也要充分了解.
23.
【答案】
（1）ℎ=9d−20；
（2）不能，理由见解析
【考点】
求一次函数自变量或函数值
一次函数的实际应用——其他问题
【解析】
（1）设ℎ与d之间的函数关系式为：ℎ=kd+b．再利用待定系数法求解解析式并检验即可；
（2）把d=50代入解析式可得ℎ=9×50−20=430，从而可得结论．
【解答】
（1）解：设ℎ与d之间的函数关系式为：ℎ=kd+b．
把d=20，ℎ=160；d=21，ℎ=169，
分别代入得，20k+b=16021k+b=169 ．
解得k=9，b=−20，
即ℎ=9d−20；经检验符合题意；
（2）解：不能．理由如下：
当d=50时，ℎ=9×50−20=430，不符合实际情况；
所以不可能．
24.
【答案】
（1）见解析
（2）2
【考点】
角平分线的性质
线段垂直平分线的性质
全等的性质和HL综合（HL）
【解析】
（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【解答】
解：（1）证明：如图，连接BP，CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴DP=EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，
BP=CPDP=EP ，
∴Rt△BDP≅Rt△CEPHL，
∴BD=CE；
（2）解：∵AP平分∠DAC，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
∴DP=EP，
在Rt△ADP和Rt△AEP中，
AP=APDP=EP ，
∴Rt△ADP≅Rt△AEPHL，
∴AD=AE，
∵AB=5，AC=9，且BD=CE，
∴5+AD=9−AE，
即5+AD=9−AD，
解得AD=2
25.
【答案】
D−10,5,E−6,8
【考点】
勾股定理的应用
矩形与折叠问题
坐标与图形综合
【解析】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．
根据折叠结合勾股定理得CE=OE2−OC2=102−82=6，故E−6,8，在Rt△BDE中由勾股定理得8−DA2+42=DE2，解方程即可．
【解答】
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=∠C=90∘，OA=BC=10
依题意可知，折痕OD是四边形OADE的对称轴，
由折叠得：OA=OE=10，DE=DA，
∴在Rt△OCE中，OE=AO=10
∴CE=OE2−OC2=102−82=6
∴E−6,8，
在Rt△BDE中，DB2+BE2=DE2，
又∵DE=DA，BE=BC−CE=4
∴8−DA2+42=DE2
即8−DA2+42=DA2
∴DA=5
∴D−10,5．
26.
【答案】
（1）①a2+1，b2+4；②13；255
【考点】
根据矩形的性质与判定求线段长
勾股定理的应用——求最短路径
勾股定理的应用
【解析】
本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
1①直接利用勾股定理列式表示即可；②由1+a2+4+b2=CE+DE，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，CA⊥AB，DB⊥AB，证明四边形ABDH为矩形，再利用勾股定理求解即可；
2如图，设AB=5，AC=4，BD=6，AE=x，则BE=5−x，表示CE=x2+16，DE=5−x2+36，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，CA⊥AB，DB⊥AB，证明四边形ABDH为矩形，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】
解：①在Rt△ACE中，
∵AC=1,AE=a，
∴CE=AC2+AE2=12+a2=1+a2，
在Rt△BDE中，
∵BD=2,BE=b，
∴DE=BD2+BE2=22+b2=4+b2，
②1+a2+4+b2=CE+DE，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，CA⊥AB，DB⊥AB，如图，
∴四边形ABDH为矩形，
∴AH=BD=2，HD=AB=2
在Rt△CDH中，
∵HD=AB=2,CH=CA+AH=1+2=3，
∴CD=CH2+DH2=32+22=9+4=13，
∴CE+DE的最小值为13，
即a2+1+b2+4的最小值为13．
故答案为：①a2+1，b2+4；②13
2如图，设AB=5，AC=4，BD=6，AE=x，则BE=5−x，
在Rt△ACE中，CE=x2+16，
在Rt△BDE中，DE=5−x2+36，
x2+16+5−x2+36=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，CA⊥AB，DB⊥AB
如图，
∴四边形ABDH为矩形，
∴AH=BD=6，HD=AB=5
在Rt△CHD中，CD=52+4+62=55，
∴CE+DE的最小值为55，
即x2+16+5−x2+36的最小值为55．
27.
【答案】
（1）见解析
（2）成立；理由见解析
（3）6
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
三角形内角和定理
【解析】
（1）证明△ADB≅△CEAAAS，则AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；
（2）同理1证明即可；
（3）同理2可得，△ABD≅△CAEAAS，则S△ABD=S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为ℎ，则△ACF的底边CF上的高为ℎ，S△ABC=12BC⋅ℎ=12，S△ACF=12CF⋅ℎ，由BC=2CF，可得S△ACF=6，根据S△ABD+S△CEF=S△CAE+S△CEF=S△ACF，求解作答即可．
【解答】
解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠AEC=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘=∠BAD+∠ABD，即∠CAE=∠ABD，
∵∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=AC，
∴△ADB≅△CEAAAS，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
∴DE=BD+CE；
（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α，即∠ABD=∠CAE，
∵∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=AC，
∴△ADB≅△CEAAAS，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
∴DE=BD+CE；
（3）解：同理2可得，△ABD≅△CAEAAS，
∴S△ABD=S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为ℎ，则△ACF的底边CF上的高为ℎ，
∴S△ABC=12BC⋅ℎ=12，S△ACF=12CF⋅ℎ，
∵BC=2CF，
∴S△ACF=6，
∴S△ABD+S△CEF=S△CAE+S△CEF=S△ACF=6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为
28.
【答案】
（1）t=6516
（2）t的值为316或52；
（3）当t=54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
角平分线的性质
线段垂直平分线的性质
勾股定理的应用
【解析】
（1）设PB=PA=xcm，则PC=4−xcm，在Rt△ACP中，依据AC2+PC2=AP2，列方程求解即可得到t的值．
（2）设PD=PC=ycm，则AP=3−ycm，在Rt△ADP中，依据AD2+PD2=AP2，列方程求解即可得到t的值．
（3）分四种情况：当P在AB上且AP=CP时，当P在AB上且AP=CA=3cm时，当P在AB上且AC=PC时，当P在BC上且AC=PC=3cm时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
【解答】
（1）解：如图，设PB=PA=xcm，则PC=4−xcm，
∵∠ACB=90∘，AB=5cm，BC=4cm，
∴AC=3cm，
在Rt△ACP中，AC2+PC2=AP2，
∴32+4−x2=x2，
解得x=258，
∴BP=258cm，
∴t=AB+BP2=5+2582=6516；
（2）解：如图，过P作PD⊥AB于D，
∵BP平分∠ABC，∠C=90∘，
∴PD=PC，
∵BP=BP，
∴Rt△BPD≅Rt△BPCHL，
∴BC=BD=4cm，
∴AD=5−4=1cm，
设PD=PC=ycm，则AP=3−ycm，
在Rt△ADP中，AD2+PD2=AP2，
∴12+y2=3−y2，
解得y=43，
∴CP=43cm，
∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，
当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，
此时，t=AB2=52．
综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52；
（3）解：分四种情况：
①如图，当P在AB上且AP=CP时，
∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90∘，∠ACP+∠BCP=90∘，
∴∠B=∠BCP，
∴CP=BP，
∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，
∴t=AP2=54．
②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，
t=AP2=32．
③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD=AC⋅BCAB=125cm，
∴Rt△ACD中，AD=95cm，
∴AP=2AD=185cm，
∴t=AP2=95．
④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，BP=4−3=1cm，
∴t=AB+BP2=62=3．
综上所述，当t=54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．指距dcm
20
21
22
23
身高ℎcm
160
169
178
187