上海市建平中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份上海市建平中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了 2， 1，  1，13，10等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
2025 学年上海市建平中学高二上学期开学综合素质检测
数学试卷
（考试时间：120 分钟满分：150 分）
本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟
请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一.填空题（12 题共 54 分，1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分）
设k  R ，向量a  3, 4 ， b  k, 1 ．若b 在a 方向上的数量投影为 1，则k  ．
方程cs 2x  sin x  0 在区间0, 2π上的所有解的和为．
已知数列a 满足a  1, a n a n  N, n  1 ，则a ．
n1n1
n 1 n
n
→→→
已知平面向量a ， b ， c 满足a  b  c  0 ，且 a  b  c  1 ，则agb 的值为．
设α和β是关于 x 的方程 x2  4x  m  0 的两个虚数根，若α、β、1在复平面上对应的点构成直角三角形，则 实数m  ．
→→→
已知a 、b 满足 a  4 ， b 在a 方向上的数量投影为2 ，则 a  3b 的最小值为．

PA  PCPB  PC
若 AB  4, AC  3CB ，平面内一点 P 满足 –––→ –––→ ，则sinPAB 的最大值为．
PAPB
疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示， PQ 为路面， AB 为消毒设备的高， BC 为喷杆， AB  PQ ， ABC  2π ， C 处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角DCE  π ，已知
33
AB  2 ， BC  1 .则消毒水喷洒在路面上的宽度 DE 的最小值为．
为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成： a2  2abcsC  b2  c2 ，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数 x､y､z 满足： x2  xy  y2  25, y2  yz  z2  144 ， z2  zx  x2  169 ，则 xy  yz  zx  ．
a→1
已知平面向量e1 、e2 是不共线的单位向量，记e1 、e2 的夹角为θ，若平面向量
满足 a  ，且对于任意的正
2
→–→–→
实数k ， a  e1  ke2
 1 恒成立，则csθ的最大值为． 4
已知函数 f  x  sin ωx  π sin ωx  2π ω 0 ， ( x  R) ，若方程 f (x)  0 在区间 π , π  内无解，则ω的取
6 3  2

值范围是．
莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形
ABC 的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知 A，B

–––→ –––→–––→–––→
两点间的距离为 2，点 P 为莱洛三角形曲边上的一动点，则 PA  PA  PB  PC 的最小值为．
二.选择题（4 题共 18 分，13~14 每题 4 分，15~16 每题 5 分）
 1 sin 2θ
若 
2
 
 1，则θ是第（ ）象限角
一或二B．一或三C．二或三D．二或四
设θ R ，若对任意的 x  0, π  ，都存在 x  0, π  ，使得sin  x θ  cs  x  π 成立，则θ可以是（ ）
12 
2
2 
2 16 
π
4

5π
12
7π
12

3π
4
–––→
AB
AB csABC
–––→–––→
–––→–––→
O 是平面上一定点，A ，B ，C 平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP  OA  λ
 –––→ AC ，

AC csBCA 

λ R ，则 P 的轨迹一定通过V ABC 的（ ）
外心B．内心C．重心D．垂心
矩形 ABCD 中， AB  2 ， AD  4 ，动点 P 满足 AP  λAB  μAD ， λ0,1,μ0,1 ，则下列说法中错误的是
（）
–––→
若μ 1 ，则V ABP 的面积为定值B．若λ 1 ，则 DP 的最小值为 4
C．若μ 1 ，则满足 PA  PB 的点 P 不存在D．若λ 1 ， μ 2 ，则V ABP 的面积为 8
2333
三.解答题（共 78 分，17~19 每题 14 分，20~21 每题 18 分）
17．（本题共 14 分，每小问均为 7 分）
已知函数 f (x) 
3 sinωx csωx  sin2 ωx  1 （其中常数ω 0 ）的最小正周期为π．
2
求：函数 y  f (x) 的表达式；
将 y  f (x) 的图象向左平移φ(0 φ π) 个单位长度得到函数 y  g(x) 的图象，若实数 x1, x2 满足
f  x  g  x   1 ，且 x  xπφ
1212 的最小值是 6 ，求： 的值．
18．（本题共 14 分，每小问均为 7 分）
某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25%
设第n 年该生产线的维护费用为an ,求an 的表达式;
若该生产线前 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产线前n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?
19．（本题共 14 分，每小问均为 7 分）
如图， A 、 B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为 2km、
7 10 km .测得tan MON  3 ， OA  6km.以点O 为坐标原点，射线OM 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐
5
标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、 B 、Q 均在一条航线上.
求码头Q 点的坐标；
海中有一处景点 P （设点 P 在平面 xOy 内， PQ  OM ，且 PQ  6km ），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线
AB 航行时离景点 P 最近的点C 的坐标.
20．（本题共 18 分，每小问均为 6 分）
已知 i 是虚数单位，a， b  R ，设复数 z1  2a 
3i ， z2  2b  i ， z3  a  bi ，且 z3
 1.
若 z1  z2 为纯虚数，求： z3 ；
若复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数 a，b，使向量OB 逆时针旋转90 后与向量OA 重合，如果存在，求实数 a，b 的值；如果不存在，请说明理由；
②若 O，A，B 三点不共线，记V ABO 的面积为S a, b ，求： S a, b 及其最大值.
21．（本题共 18 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8 分，（3）小问 6 分）设数列an an  R 是公比为 q 的等比数列，其前 n 项和为Sn ．
若a1  a ， q  1 ，求：数列Sn 的前 n 项和；
若S3 ， S9 ， S6 成等差数列，求：q 的值并证明：存在互不相同的正整数 m，n，p，使得am ， an ， ap 成等差数列；
若存在正整数k 1  k  n ，使得数列S1 ， S2 ，…， Sn n  4 在删去Sk 以后按原来的顺序所得到的数列是等差
数列，求：所有数对n, q 所构成的集合．
参考答案：
填空题（1~12 题）
1． 3
5π
2． 2
3． 1
?
4．  1
2
5．13
6．10
1
7． 3
8． 5 3
3
3
9．40
7
4
 0, 1  ∪  2 , 5 
3 3 6 

21
18−4
选择题（13~16 题）
13．A
14．B
15．D
16．B
解答题（17~21 题）
f (x) π 
π2π
63
（1）
sin 2x  （7 分） （2）或

3 （7 分）
（1）；（7 分）（2）9（7 分）
（1） Q 4，2 （7 分） （2） C(1, 5) （7 分）
20．（1）  2  2 i 或 2  2 i （6 分）
2222
（2）①存在， a   1 , b   3 ；（6 分）
22
② S a,b  a  3b ，最大值为 2（6 分）
21． （1）Q a1  a ， q  1 ，数列an an  R 是公比为 q 的等比数列，
 Sn  na ，（1 分）
数列Sn 为S1  a, S2  2a,… , Sn  na ，
数列为首项为a 公差为a 的等差数列，（1 分）
S 
a  na nna  n2a
数列 n
的前 n 项和Tn 
.（2 分）
22
（2）Q S3 ， S9 ， S6 成等差数列，
 S3 + S6 =2 S9 ，（1 分）
当q  1 时, S3 + S6 = 9a1 ,2 S9  18a1 ,不符题意舍去，（1 分）
1
当q  1时，
a 1 q3 
1 q
a 1 q6 
1
1 q
 2 
a 1 q9 
1
1 q
.（1 分）
1 q3 1 q6  2  1 q9  ,即q3  q6  2q9 ， 2q6  q3 1  0 ，
2
q3 12q3 1  0 ， q3  1（舍）或q3   1 即q 
  3，（2 分）
1
2
3  1
2
存在互不相同的正整数，使得a1 ， a7 ， a4 成等差数列，（1 分）
31 1
 1 21
Q a1  a4  a1  a1q  a1 1  a1 ， 2a  2a  q6  2a    a ，（1 分）
2 271
1  2 2 1

 a1  a4  2a7 .（1 分）
（3）由题意列出S1 ，S2 ，…，Sk 2 , Sk 1 , Sk , Sk 1 , Sk 2 ,…，Sn n  4 在删去Sk 以后, 按原来的顺序所得到的数列是等
差数列,
Sk 2  Sk 1  2Sk 1
 ak  ak 1  ak 1
q  q2  1
则S S 2S
，（2 分） a  a a
,（1 分）即q 1  q2 ，（1 分）
 k 1
k 2

q 
k 1
5 1 或
5 1
 kk 1
k 2

解得： 

 q 

22
5 1 或1 5
22
方程组无解. （1 分）
即符合条件的q 不存在，所有数对n, q 所构成的集合为. （1 分）