上海市建平中学2026届高三上学期9月练习数学试卷（含答案）

这是一份上海市建平中学2026届高三上学期9月练习数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a∈R，则下列选项中正确的是( )．
A. a+2a≥2 2B. (−a)2+(−2a)2≥4
C. −a−2a≥−2 2D. (−a)+(−2a)≤−2 2
2.有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，A3表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，A4表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则( )
A. A3与A4为对立事件B. A1与A3为相互独立事件
C. A2与A4为相互独立事件D. A2与A4为互斥事件
3.设f1(x)=sinx，f2(x)=cs(x+φ).若对任意t∈R，均存在i∈1,2，使得函数y=fi(x)在t,t+π4是单调函数，则φ的取值可能是( )．
A. 4π7B. 3π7C. 2π7D. π7
4.在平面直角坐标系xOy中，记Pn=(x,y)x2a2+y2b2 =n，Qn=(x,y)x2a2−y2b2 =n.设点An∈Pn，点Bn∈Qn，给出如下结论：
①任意a,b>0，存在A1,A2,...,对任意正整数n，OAn⋅OAn+1为大于零的常数．
②任意a,b>0，存在B1,B2,...,对任意正整数n，OBn⋅OBn+1为大于零的常数．
下列选项中，判断正确的是( )．
A. 命题①成立，命题②成立B. 命题①成立，命题②不成立
C. 命题①不成立，命题②成立D. 命题①不成立，命题②不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集U=(0,+∞)，A=[2,+∞)，则A= ．
6.若a=(0,2)，b=(3,5)，则a⋅b= ．
7.设i为虚数单位，若z=1−3i，则|z+3|= ．
8.已知等比数列an的首项a1与公比q相等，若a3=16，则a6= ．
9.函数y=sinx在x=π3处的切线斜率为 ．
10.设实数a>0，圆C:x2+y2−4x+ay=0的面积为12π，则a= ．
11.未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 ．
12.在(x−1)n的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数n= ．
13.在正七棱锥P−ABCDEFG中，直线l过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当l与直线PA所成角为最小值时，则满足条件的l的条数为 ．
14.设f(x)=lga(bx+2)(a>0且a≠1，b≠0).若对任意x>0，f(4x−1)=f(x−1)+3均成立，则当f(x)>3时，x的取值范围为 ．
15.如图，ABCD是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的AC对角已建有一径水泥步道AEGCHF.已知花圃长、宽AB、AD分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘EG、FH各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的BD对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米(精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损)．
16.已知首项a1=2，对任意正整数n，存在不超过n的正整数i，使得an+1=anai，存在an满足2k−25≤a1+a2+⋯+a100≤2k，则满足要求的正整数k的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱AB的中点，PM⊥平面ABCD．
(1)求证：PB⊥BC；
(2)若PC=2CD，求直线PA与平面PBD所成角的大小．
18.(本小题14分)
设a≥0，a,b∈R.已知函数f(x)=x2−2ax−3ax−1的定义域为D，且D=[b,b+1]．
(1)若函数y=f(x)是偶函数，求a,b的值；
(2)设b=1，若对任意的x∈D，均有f(x)≥0，求a的取值范围．
19.(本小题14分)
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组(50≤x0f 33>0，代入解得t∈− 3,− 153

21.【详解】(1)对f(x)=x2求导有f′(x)=2x，
所以f(1)=1，f′(1)=2，
因此T1=xf(x)−f(1)≥f′(1)(x−1) =xx2−1≥2(x−1) ，
求解不等式x2−1≥2(x−1)有(x−1)2≥0，
由于该式对于任意x∈R均成立，所以T1=R．
(2)对f(x)=x3−x求导有f′(x)=3x2−1，
则在x=x0处的切线方程为y=(3x02−1)(x−x0)+x03−x0，
将点(−1,0)代入方程可得3x02−1−1−x0+x03−x0=0，
解得x0=12或x0=−1，
由于x0> −1，所以x0=12．
所以f12=18−12=−38，f′12=3×14−1=−14．
因此Tx0=T12=xf(x)−f(12)≥f′(12)(x−12) =xx3−x+38≥−14(x−12) ．
将不等式化简得：x3−34x+14≥0，化简得(x+1)(2x−1)2≥0．
解得x≥−1，所以T12=[−1,+∞)．
(3)先证明：f′(1)=f′(0)
设g(x)=f(x)−f′(0)x−f(0)，
则xg(x)≥0 = xf(x)−f(0)≥f′(0)x=T0=(−∞,0]∪1,
所以y=g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(1)，
进而g′(1)=f′(1)−f(0)=0，因此f′(1)=f′(0)．
再证明：f(1)−f(0)=f′(0)
根据0∈T1和1∈T0，分别推出f(0)−f(1)≥−f′(1)和f(1)−f(0)≥f′(0)，
由不等式性质可得，f′(1)=f(1)−f(0)=f′(0)，即f(0)=f(1)−f′(1)．
由于y=f(x)在x=0和x=1处的切线为f(x)=f′(0)x+f(0)和f(x)=f′(1)x−f′(1)+f(1)，
所以y=f(x)在x=0和x=1处的切线重合．
因此，T1=T0=(−∞,0]∪1．