2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，第1.2小题每小题4分，第3、4小题每小题5分，共18分。
1.方程x2−2 3x+1=0的两个根可分别作为( )
A. 椭圆和双曲线的离心率B. 两双曲线的离心率
C. 两椭圆的离心率D. 以上皆错
2.“a2+b2a>0)的根大于a，则实数k满足( )
A. |k|>baB. |k|abD. |k|0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,2b)，双曲线的渐近线上存在一点P，使得顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，则双曲线C的离心率为______．
12.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______．
13.若直线ax+y+b−1=0(a>0,b>0)过抛物线y2=4x的焦点F，则1a+1b的最小值是______．
14.已知抛物线对称轴为x轴.若抛物线上的动点到直线3x+4y−12=0的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．
15.坐标平面上一点P到点A(1,0)，B(a,2)及到直线x=−1的距离都相等.如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=| 1−x2−2ax−b|，其中a，b∈R，f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若f(x)=α2+β2，求f(m)的最小值．
18.(本小题15分)
已知命题p：点M(1,3)不在圆(x+m)2+(y−m)2=16的内部，命题q：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线C2：x2m−t+y2m−t−1=1表示双曲线”．
(1)若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
19.(本小题15分)
如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？
20.(本小题15分)
已知动直线y=kx交圆(x−2)2+y2=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足OM=AB，动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0．
(1)试用k表示点A、点B的坐标；
(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0；
(3)以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由(若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分)．
①对称性；
②顶点坐标(定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点)；
③图形范围；
④渐近线；
⑤对方程F(x,y)=0，当y≥0时，函数y=f(x)的单调性．
21.(本小题18分)
已知直线x+y+ 3=0与椭圆E：x2a2+y2=1有且只有一个公共点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.x+ 3y=4
6.(0,18)
7.[0,4]
8.4
9.±503
10.(−1,3)
11.3
12.1
13.4
14.y2=−214x
15.(−1,1)∪(1,+∞)
16. 2−12
17.解：(1)若α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．
则Δ=(4m)2−4×4(m+2)≥0，
解得：m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
(2)若f(x)=α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−m+22=m2−m2−1，
其图象是开口朝上，以m=14为对称轴的抛物线，
由m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；
故当m=−1时，f(m)的最小值为12．
18.解：(1)若p为真：(1+m)2+(3−m)2≥16
解得m≤−1或m≥3，
若q为真：则m2>2m+82m+8>0
解得−4