黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期9月第一次月考数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期9月第一次月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了 B2， AD10，113，3x-y-5=0， 15， 取等内容，欢迎下载使用。

雅臣中学高二数学第一次月考答案一单选
1. B2.A3.A4.D5.C6.C7.A8.C
二多选
9. AD10.ACD11.BCD
三填空
17
12.113.
四解答题
15.（1）3x-y-5=0
（2）4x-y-8=0
（3）2x+y-3=0
（4）x+3y+3=0
14. 15
5
16.（1）?=（-2，-1，2）或（2，1，-2）
2
（2）k=2 或 k=-5
（3）k=1 或-1
17 解：（1）由于 A1C1∥AC，所以∠CAB1
（或其补角）即为异面直线 AB1 与 A1C1 所成角，
连接 CB1，在△AB1C 中，
由于，所以△AB1C 是等边三角形，所以，所以异面直线 AB1 与 A1C1 所成角的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐 标系，可得有关点的坐标为 C（0，0，2）、 B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0， 1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设平面 A1B1C 的法向量为， 则
．
∵，，且，
∴，取 v＝1，
得平面 A1B1C 的一个法向量为，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
且 ，
又∵，
于 是 点 M到 平 面 A1B1C的 距 离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣
18. （ Ⅰ ） 取
AE 的中点
M , 连接
B M ， 因为
1
BA  AD  DC  1 BC  a ，ABE 为等边三角形，则B M 3 a ，
212
又因为面B1 AE  面AECD ，所以B1M  面AECD ，……2
分
3
3
所以V  1 a  a  a sin π  a …………4 分
3234
1
连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE  OD ，又F 为B D 的中点，
所以FO ∥ B1E ，所以B1E ∥面ACF ……………7 分
1
连接MD ，分别以ME, MD, MB 为x, y, z 轴
则E( a , 0, 0), C(a,3 a, 0), A( a , 0, 0), D(0,3 a, 0), B (0, 0,3 a)
3a
3a
222212
–––→
a
–––→
a
–––→
a
–––→a
3a
EC  (, 2
分
2 , 0), EB1  ( 2 , 0,
), AD  (,
3a
22
2 , 0), AB1  ( 2 , 0,
2 ) ……9
 a x 3 ay  0
设面的法向量 v  (x, y, z) ，  22， 令
ECB1

 a x 
3 az  0
→
x  1 ，则u  (1, 
3
, 3 )
33
 22
 a x 
3 ay  0
1
设面 ADB 的法向量为 u  (x, y, z) ，  22， 令
 a x 3 az  0
 22
3
→
33
x  1 ，则v  (1, ,  3 ) ……11 分
→ →1 1  1
则cs  u, v  33  3 ，所以二面角的余弦
1 1  1  1 1  15
3333
值为3 ……
5
19 答案：(1)证明见解析
(2)存在，点 F 为棱PA 上靠近点 A 的三等分点解析：(1)
如图，连接AC ，与BD 相交于点 O，连接OE .∵底面ABCD
为菱形，∴O 为AC 的中点，∵E 为PC 的中点，∴OE //PA ，
∵ PA  平面ABCD ，∴OE  平面ABCD ，
∵OE  平面BDE ，∴平面BDE  平面ABCD .
(2)∵四边形ABCD 为菱形，且BAD  120 ，
∴△ABC ，△ADC 为等边三角形，
∴OB  OD 
3 AB  2
3
2
.∵OE  平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，
∴OB ， OC ， OE 两两垂直，以 O 为原点，向量OB ， OC ，
OE 的方向分别为
x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则O 0, 0, 0 ， B 2 3, 0, 0，C 0, 2, 0 ， D 2 3, 0, 0
–––→–––→
∴ DB  4 3, 0, 0.设F 0, 2, t 0  t  2 ，则FB  2 3, 2, t .
–––→ →
→FB  m  2 3x  2 y  tz  0
设平面BDF 的法间量为m   x, y, z  ，则–––→ →
DB  m  4 3x  0
→
令z  2 ，可得m  0, t, 2 .由题意得OC  0, 2, 0 为平面BDE 的一个法向量.
m  OC
→
–––→
m OC
→ –––→
2 t 2  4
设平面BDE 与平面BDF 的夹角为θ ，则
csθ
→ –––→ 2t
10 ，解得t  2 ，
cs
m, OC
103
∴存在点 F 为棱PA 上靠近点 A 的三等分点，
使得平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值为
10 .
10