湖南省永州市2025-2026学年高三上学期高考第一次模拟考试数学试卷

这是一份湖南省永州市2025-2026学年高三上学期高考第一次模拟考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分 150 分, 时量 120 分钟.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 A={x|3≤x＜10}, B={x|2＜x≤7}, 则 A∪B= ()
A.(2,10)B. [3,7]C. [7,10)D. (2,3]
设复数 z₁，z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称， ?1 = 3−?,则 ?1?2 = ( )
A. - 10B. 10C. - 8D. 8
3 ?
3：下列函数中既是奇函数又是增函数的为()
?.?(?) = −?3?.?(?) = 2∣?∣?.?(?) = −1
?
?.?(?) =
?
6
4：2025 年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为 ?(?)
= ??? 2? +
. 将函数 f(x)的图象上所有点向右平移 π/6 个单位长度，可得到函数 g(x)的图象，
则函数 g(x)的解析式为()
?
3
?
6
A. g(x)=cs2x?.?(?) = ??? 2? +
?.?(?) = ??? 2?−
D. g(x)=-sin2x
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠0, 若, ?5 = 70,且 a₂, a₄, a₉成等比数列，则 ?6
= ( )
A. 30B. 32C. 36D. 40
6.(x2−x−2y)5的展开式中， x5y2的系数为()
A. 80B. 40C. - 60D. - 120
已知函数. f(x) = ax(a⟩0,a ≠ 1),直线 y=x 与函数 y=f(x)的图象相切,则 lnα=0( )
2
B. 1
C. e'D. 2a
已知两条直线 ?1
:? = 2?,?2
:? = 1?, 有一动圆 M 与 l₁交于 A，B 两点，与 l₂交于 C，D 两点,且.
2
AB - 2,CD=4, 则圆心 M 的轨迹为()
A. 圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
二、多项选择题：本题共小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中, CD=3, AD=4, AA₁=5, M 为.BB₁上一动点，N 是 A₁D₁的中点，
则下列结论正确的是 ( )
直线 CM∥平面 AA₁D₁D
直线 A₁C 与平面 ABCD 的夹角是 π/3
直线 AC₁⊥平面 B₁D₁C
三棱锥 M-ADN 的体积是 10
若实数 x，y 满足 x+y≥2，则下列选项一定正确的有( )
xy≥1?.?2 + ?2 ≥ 2
?.(?−1)2 + ?2 ≥ 1
2
?.∣?−2?2∣ + ∣?−2?2∣ ≥ 2
下列关于函数 ?(?) = −?3 +?? + 1的说法，正确的有()
1
2
1
2
若 ?= 2,则 ? −= 0
当 0?3时，f(x)的图象不经过第三象限
＜ ＜2
若 f(x)有三个零点 x₁,x₂,x₃,则 ?1?2 + ?2?3 + ?3?1 = ?
2
若有且只有一个正方形的四个顶点在函数 f(x)图象上，则 ? = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知 a，b 均为单位向量，且 ? ⋅ 2? += 2,则 a 与 b 的夹角等于.
?
在△ABC 中, ?? = 2??,???? = 1,若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e=
4
.
一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次 (各次抛掷结果相互独立)，所得的点数依次为 ?1,?2,?3, 则事件 “∣?1−?2∣ + ∣?2−?3∣ + ∣?3−?1∣ = 8"发生的概率为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在 △ ???中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b, c, ???(? + ?) = 2 3???2?.
2
求 csC;
若 ? + ? = 5, △ ???面积为 3,求 c.
如图, 在三棱锥 A-BCD 中, CD⊥平面 ABD, AB=BD=CD;E 是 AD 的中点, F 是线段 AC 上的一点(不含端点).
证明: BE⊥平面 ACD;
若二面角 A-CD-B 的大小为 ?,求直线 BF 与平面 ACD 所成角的正弦值的最大值.
3
在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有 4 个选项，至少 2 个正确选项，不会出现 4 个正确选项，全部选对得 6 分，选错得 0 分.若正确答案有 2 个选项，选对 1 个得 3 分；若有 3 个选
项，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分.已知每道多选题的正确选项为 2 个与 3
个的概率都是 1，
2
学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误.
若学生甲做第三道多选题时随机选择 3 个选项，求他得 6 分的概率：
学生甲做第三道多选题时随机选择 1 个选项的得分记为 X ，随机选择 2 个选项的得分记为 Y，随机选择 3 个选项的得分记为 Z，试比较 E(X)，E(Y)，E(Z)的大小.
2
抛物线 C :?2 = 2??(0＜?＜4)的焦点为 F，C 上纵坐标为 2 的点到 F 的距离为 5.对每个正整数
n， Pn(an，bn)是 C 上的点且在第一象限，过焦点 F 的直线 FP。交 C 于另一点！Qn(cn, dn).
求抛物线 C 的方程；
求证: ???? = −1(? ≥ 1);
取 ?? = 22?−1, 并记 Tn 为 C 上分别以 Pn 与 Qn 为切点的两条切线的交点，求 ∣??1∣ + ∣?
?2∣ + ⋯ + ∣???∣的值(用含 n 的式子表示).
已知函数 f(x)= lnx-ax.
若 f(x)≤0, 求实数 a 的取值范围;
证明: ?? + ?2＞2???? + ???? + 1;
若函数 h(x)=| xf(x)|+1 在 x∈(1,e)|时有最小值，求正实数 a 的取值范围.