湖南省永州市2025届高三上学期高考第二次模拟考试数学试卷

这是一份湖南省永州市2025届高三上学期高考第二次模拟考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了未知等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．1
3．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ）
A．垂直B．共线C．夹角为D．夹角为
4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0B．2C．4D．6
6．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．所有项恒大于等于B．若，则是单调递增数列
C．若是常数列，则D．若，则是单调递增数列
8．在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（ ）
A．B．C．D．
9．设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B．P也是线段CD的中点
C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是
D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为，则
11．已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，其中
下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．恰有两个整数解
C．若，，则，，中至少有两个相等
D．若，则
12．已知，则 .
13．用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种.
14．在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 .
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求的外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
16．如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，.
(1)若，证明：；
(2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.
17．箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；
（b）设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束.
(1)若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
(2)求操作在第n次结束的概率.
18．已知函数，.
(1)设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值；
(2)a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；
(3)证明：当时，对任意正实数a，.（附：）
19．在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和.
(1)求C的标准方程；
(2)证明是定值，并求出该定值；
(3)设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标.