云南省昭通市第一中学2024-2025学年高一下学期2月开学考试试题数学试卷+答案

这是一份云南省昭通市第一中学2024-2025学年高一下学期2月开学考试试题数学试卷+答案，共14页。试卷主要包含了 已知，，则， 已知向量，，满足，，，则， 下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
2. 如图，在中，是的中点.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为是的中点，，，
所以
.
故选：C
3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A. 或B. 或3C. 或3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得.
【详解】由题意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合题意.
当时，，由正弦定理，得，解得；
当时，，此时等腰三角形，.
故选：A
4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为，
再将所得图象向左平移个单位，
则所得函数图象对应的解析式为，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题．
5. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可判断大小 .
【详解】由题意得，，，，
综合比较 ，
故选：C.
6. 已知四边形，设E为的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积运算法则得到，利用，求出，从而得到答案.
【详解】在平面（空间同样）四边形中，
，
因为，所以．
故选：A．
7. 已知，，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和差公式展开，进而解得，，两式作商求得.
【详解】因为，，
所以，，
从而，，故．
故选：A.
8. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可解得范围，即可得答案.
【详解】因为的图象经过点，所以.
又，所以，则函数，，
当时，，
因为在上恰有2个零点，所以，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量坐标的线性运算，利用向量模长公式，可得A的正误；由平行向量的坐标表示，建立方程，可得B的正误；由向量坐标的线性运算，利用垂直向量坐标，可得C的正误；利用投影向量的计算方法，可得D的正误.
【详解】对于A，，，，所以，故A错误；
对于B，，，当时，，即，故B正确；
对于C，，由，可得，即，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D错误，
故选：BC.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数图象的对称中心为，
C. 命题“，”的否定是，
D. 函数的零点所在的区间是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用充分不必要条件定义判断A；求出对称中心判断B；由存在量词命题的否定判断C；由零点存在性定理判断D.
【详解】对于A，由，得或，则是的充分不必要条件，A正确；
对于B，由，得，函数图象的对称中心为，，B错误；
对于C，命题，的否定是命题，，C正确；
对于D，在上单调递增，，，
函数的零点所在的区间是，D正确.
故选：ACD
11. 函数过定点，若，则结论正确的是（ ）
A. B. 最小值为
C. 最小值为D. 的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】由对数函数的性质可得，利用集合与元素的关系可得，即可得A；借助对数运算结合基本不等式计算可得B；借助基本不等式及指数运算法则计算可得C；借助“1”的活用可得D.
【详解】对于A：由，故定点，
由，故有，即，故A错误；
对于B：，
当且仅当时，等号成立，即最大值为，故B错误.
对于C：，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：由，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：CD.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是____________.

【答案】
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式求解，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可.
【详解】由题可知，，，所以扇形的面积，
扇形的面积，所以扇面的面积.
故答案为：.
13. 在中，，，，为边上一点，且，则______
【答案】
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求出，在中，由正弦定理求出.
【详解】如图，
在中，由余弦定理得，
又，则，
在中，由正弦定理得，
所以，.
故答案为：.
14. 设，，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】作出分段函数的图象，分解因式，再利用的图象与之间的关系判断即可．
详解】由已知得，
作出的图象如下（图象中的实线部分）：

又，则，即或，
由图易知有两个解，故有3个解，故.
故答案为：
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角的性质有，即可确定角的大小；
（2）由已知及三角形面积公式可得，再应用余弦定理可得，即可得周长.
【小问1详解】
由，得，即且，则.
【小问2详解】
因为，所以，解得，
由余弦定理得，
所以，所以的周长为.
16. 已知函数的图象经过点，函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象经过点求出，同理求出即可求解；
（2）求出的表达式和，转化原不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
因为函数的图象经过点，
所以，
所以，因为函数的图象经过点，
所以，所以，
所以；
小问2详解】
由（1）得，，
转化为，
即得出
所以，即不等式的解集为：.
17. 已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，解不等式.
【答案】（1）在上的单调递增，证明见解析；
（2）奇函数，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）任取，，且，用作差法判断的大小，即可证结论；
（2）根据奇偶性定义证明函数的奇偶性；
（3）根据（1）（2）结论，不等式可化为，解不等式求解集.
【小问1详解】
因为函数，在上单调递增，故在上的单调递增.
证明如下：任取，，且，
则
，
因为，所以，，
所以，即，即在上单调递增.
【小问2详解】
函数，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数.
【小问3详解】
由，得，
即，又，，
由（1）知在上单调递增，所以，所以，
所以不等式解集为.
18. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数.
（1）求的对称轴方程及单调递增区间；
（2）在锐角中，已知，，求.
【答案】（1）对称轴为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的和差公式与二倍角公式化简函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的周期性与对称性，可得答案；
（2）由（1）的函数的解析式求得角的值，由同角三角函数的平方式与三角形内角和，利用和差角公式，可得答案.
【小问1详解】
，
由，，得，，
所以的对称轴为.
由，，
所以单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
由，得，则，解得.
因为在中，，则为锐角，
所以.
因为，，所以，
所以.
19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，
（1）记矩形的面积，求的解析式；
（2）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】（1）
（2）当时，矩形的面积最大，最大面积为.
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数表示出、，由及三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式；
（2）根据的范围，求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
在中，，，
在中，，
所以，，
则
.
【小问2详解】
由，得，所以当，
即时，，
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.