吉林省长春市第八中学2024-2025学年高一上学期1月期末试题数学试卷+答案

这是一份吉林省长春市第八中学2024-2025学年高一上学期1月期末试题数学试卷+答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据交集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：A.
2. 已知“命题使得成立”为真命题，则实数满足（ ）
A. [0，1)B. (-∞，1)C. [1，+∞)D. (-∞，1]
【答案】B
【解析】
【分析】讨论=0或≠0，当=0时，解得，成立；当≠0时，只需或即可.
【详解】若=0时，不等式等价为，解得，结论成立.
当≠0时，令，要使成立，
则满足或，解得或，综上，
故选：B.
【点睛】本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
3. 已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】由题设可得，故，
故函数的定义域为，
故选：B
4. 若函数，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设t，则x，代入函数解析式可得，注意变量的范围．
【详解】设t，则x，
∵函数f（），
∴f（t），t≠0，t≠﹣1，
∴f（x）（x≠0且x≠﹣1），
故选B．
【点睛】本题考查了换元法求解析式的方法，特别注意自变量的取值范围．
5. 已知，则等于（ ）
A. －B. C. －D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断角所在的象限，再根据同角三角函数的关系可求得答案
【详解】因为，
所以角是第二象限的角，
所以，
故选：A
6. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令．
因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴且，所以且，
解得，即a的取值范围为，
故选：D．
7. 为了得到的图象，可以把的图象（ ）
A. 先向左平移个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍
B. 先向右平移个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍
C. 先向右平移个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍
D. 先向左平移个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍
【答案】C
【解析】
分析】将三角函数图象先作平移变换,再做伸缩变换即可求得,注意.
【详解】向左平移个单位或向右平移个单位得到,再把图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,即可得到的图象.
故选:.
【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换,考查了诱导公式的应用,属于基础题,难度较易.
8. 若关于x的方程在上有唯一实数解，则实数m的取值范围（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先设，，则在上有唯一解，转化为，即与有一个交点，求的取值范围.
【详解】设，所以当时，，
此时，由题意得，
有唯一实数解，
有唯一实数解，
令，由对勾函数的性质可知
时，在单调递减，在上单调递增，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，，
当时，结合的图象可知，
若与的图象有唯一交点，
即方程在上有唯一实数解，
此时m的取值范围是或.
故选：A
【点睛】本题考查根据方程的实数根求参数的取值范围，重点考查函数与方程的思想，换元法，数形结合分析问题的能力，计算能力，属于中档题型.
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 若，，则
C. 若幂函数在区间上是减函数，则或
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则．
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A；举反例可判定B；根据幂函数定义和性质可判定C；根据一元二次方程的性质可判定D.
【详解】对于A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“，”的否定为“，”，A选项正确；
对于B选项，若，，如，，，，则，B选项错误；
对于C选项，函数是幂函数，所以，解得，所以C选项错误；
对于D选项，设，则有两个零点，且两个零点一正一负，则，所以D选项正确.
故选：AD.
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. 的最小值是D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A,B；利用多变量变单变量即可判断CD.
【详解】对于A，因为，
所以，当且仅当时取等号
由，
即，解得，
即，A正确；
对于，由，当且仅当时取等号，
得，
所以，
又
所以，即，故B错误；
对C选项，因为，则，
得，结合，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D选项知:，
当且仅当时，即，
但由于，因此等号不成立，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体的思想利用基本不等式构造一元二次不等式从而判断AB，再利用多变量统一为单变量的方法来判断CD.
11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，令得f1；
B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；
C选项，赋值得到；
D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，令得，∴f1=0，A正确；
B选项，任选，且，中，令，得，
因为当时，，又，所以，
故，
所以在定义域0,+∞上单调递增，B正确；
C选项，中，令得，
故，
故，C错误；
D选项，因为，所以，中，令得，
∵，∴，
由于在定义域0,+∞上单调递增，故，解得，D正确.
故选：ABD
三、填空题
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式化简为的齐次式即可．
【详解】
故答案：
【点睛】本题考查三角函数诱导公式，切与弦的基本关系，意在考查诱导公式，属于中档题．
13. 函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】因为在R上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知正实数，满足，若不等式有解则实数的取值范围是_____；
【答案】
【解析】
【详解】分析：不等式有解即巧用均值不等式求最值即可.
详解：由已知得：
由题意：，解得：
故答案为
点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
四、解答题
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；
（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，
∵，
因此，；
【小问2详解】
∵．
①当时，即，
∴，此时满足题意；
②当时．则或，
解得或．
综上所述，实数a的取值范围是．
16. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cs 2x.
（1）求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；
（2）求f(x)的单调递增区间.
【答案】（1）2；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将函数f(x)转化为f(x)，当时，函数f(x)取得最大值.
（2）利用整体思想，令求解即可，
【详解】（1）函数f(x)＝sin 2x＋cs 2x.
当，即时，
函数f(x)的最大值为2，此时x的取值集合是；
（2）令，
解得，
所以f(x)的单调递增区间是.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及辅助角法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17. 已知是定义在的偶函数，且当时，．
（1）求､的值；
（2）求的表达式；
（3）若，试求取值范围．
【答案】（1）；；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由已知中是定义在的偶函数，且当时，将代入可得答案．
（2）当时，则，结合偶函数的性质，可得此时函数的表达式，结合已知可得答案；
（3）由函数的解析式，可分析出函数的单调性，结合奇偶性，可将转化为，解得答案．
【详解】解：（1）∵当时，．
∴．
是定义在的偶函数，，
．
∴．
（2）是定义在的偶函数，当时，则，
∴，
故；
（3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：函数在区间减函数，在是增函数．
由于，所以：．
解得：．
【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
18. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用配方法，结合二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据零点存在定理结合（1）进行求解即可；
（3）根据任意、存在的定义，结合集合之间的关系、函数的值域进行求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的单调减区间为，单调增区间为.
（2）由（1）得在区间上是减函数，
∴函数在区间上存在零点等价于且，
即且，
解得，故所求实数的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集.
，当时，由（1）可知：，
所以函数的值域为，
当时，函数是单调递增函数，
因此，
故函数的值域为，
要使，
需，，
解得；∴.
【点睛】关键点睛：弄清任意、存在的含义是解题的关键,由对任意的，总存在，使成立，转化为函数的值域为函数的值域的子集，这也是解题的关键.
19. 已知函数的部分图像如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的单调递增区间；
（3）当时，求函数的最值.
【答案】（1）（2）（3）函数的最小值为，最大值为2
【解析】
【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解；
（2）由三角函数图像的平移变换，求其平移后的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可；
（3）先结合（1）求出函数 关于的函数关系，再结合三角函数的值域的求法即可得解.
【详解】解：（1）由题图得，
因为，∴.
由，得，
所以，解得.
又因为，∴当时，.
又由，得.
故.
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图像，再将图像右平移个单位长度得到的图像.
由，得，
∴的单调递增区间为.
（3）
∵，
∴，
∴函数的最小值为，最大值为2.
【点睛】本题考查了由三角函数的图像求参数的值、三角函数图像的平移变换、三角函数单调区间的求法及三角函数的值域的求法，属综合性较强的题型.