北京2023~2024学年高一数学第一学期期中试题(附答案]

这是一份北京2023~2024学年高一数学第一学期期中试题(附答案]，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关系中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系可判断.
【详解】易得，，，，故C正确.
故选：C.
2. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可
【详解】由题意，
故选：C
3. 命题，则命题p的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可求解.
【详解】全称命题的否定为特称命题，
故命题“”的否定为：，
故选：A
4. 下列函数中，值域是的幂函数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．
【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件；
故选：A
5. 若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质判断各个选项即可.
【详解】A选项中，若，则不成立；
B选项中，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知选项C正确；
由不等式可加性知选项D正确．
故选：A
6. 若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为、均为非零实数且，所以，
因为，，所以，所以，
由，可得，，所以，当且仅当，即时取等号，
所以不等式成立的一个充要条件为；
故选：A
7. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数解析式，由此可得出合适选项.
【详解】函数的定义域为，且，
因此，函数的图象为选项D中的图象.
故选：D.
8. 设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（）
A. 在上单调递减
B. 的图象与x轴只有2个公共点
C.
D. 不等式的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数性质易知在上单调递减，且，再结合单调性和零点判断各项正误.
【详解】由题设，奇函数在上单调递减，且，A对，B错，
由在上单调递减，则，C对，
由上分析知：上，上，
所以的解集为，D对.
故选：B
9. 已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.
【详解】因为函数（b，c为实数），，
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，
解得，
所以，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
10. 已知集合，，若，则实数a值的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】,可以得到，求出集合A的子集，这样就可以求出实数值集合.
【详解】,的子集有，
当时，显然有；当时，；
当时，；
当，不存在符合题意，
实数值集合为，
故选:D.
【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.
11. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
12. 已知函数，集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为集合都不是空集，设，则，，则，即可求出的值，然后对分类讨论即可求解.
【详解】因为集合都不是空集，设，则，
，则，
所以，，
当时，方程的解为，此时，满足题意；
当时，方程的解为或，
，则或，
由，则无解，
则，解得；
综上，所以，
故选:B.
二、填空题（每题5分，共30分）
13. 函数的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】由根式、分式性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由题设，可得.
故答案为：
14. ______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.
【详解】原式.
故答案为：.
15. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______．
【答案】－3
【解析】
【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值.
【详解】由题意可得，且，
当时，解得，
此时，，，不符合题意，舍去；
当时，解得，
当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
当时，，，，符合题意，
综上所述，，
故答案为：－3.
16. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式化为求解集即可.
【详解】由题设，则，解得.
故答案为：
17. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示. 则下列结论：
①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；
④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是_____．
【答案】②④
【解析】
【分析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，
所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，
则，，，所以，，
所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.
故答案为：②④.
18. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案.
【详解】根据题意，设，
则，
当时，，所以，即，所以，此时取值为1；
当时，，所以，即，所以，此时的取值为；
综上，的值域为，
故答案为：.
三、解答题（共60分）
19. 已知二次函数.
（1）求的对称轴；
（2）若，求的值及的最值.
【答案】（1）
（2）的值是，最小值是，无最大值
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式，即可得到结果；
（2）由，可求出的值，再根据二次函数的开口和对称轴，即可求出最值.
【小问1详解】
解：因为二次函数，
所以对称轴．
【小问2详解】
解：因为，所以.
所以.
所以．
因为，
所以开口向上，
又对称轴为，所以最小值为，无最大值.
20. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质有求参数，注意验证结果，再代入自变量求的值；
（2）由解析式判断单调性，结合奇函数性质，将问题化为，恒成立，求右侧最小值即得参数范围.
【小问1详解】
∵是R上的奇函数，则，即，解得，
∴，，则，符合题意，
∴.
【小问2详解】
因为，所以在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数，
故在恒成立，
等价于，即在上恒成立，
即在上恒成立，即，恒成立，
令，，则，
∴．
21. 设函数（）.
（1）指出在上的单调性，并证明你的结论；
（2）若在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义法进行证明即可
（2）利用参变分离法，使得问题转化为有解，进而利用的单调性求解即可
【小问1详解】
在上单调递减，证明如下：
，取，则
，则，，得
，所以，在上单调递减
【小问2详解】
若在上有解，则有有解，整理得，
，又在上单调递减，在上必有，，在上必有，由在上有解，可得
【点睛】关键点睛：本题的难点在于利用参变分离法进行化简求解，参变分离后，利用函数的单调性求解不等式的有解问题即可，属于基础题
22. 已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的x，，都有．
（1）求和；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）若在区间上单调递减，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，令，即可求得的值，取，即可求得的值.
（2）取，，结合的值，即可证明的奇偶性.
（3）利用单调性定义得到单调性，求解关于的不等式即可.
【小问1详解】
解：令，得，∴或
若，取，则得，
与时，矛盾，故舍去．
∴，，又时，，∴
【小问2详解】
证明：取，，得
则，∴，函数为奇函数．
【小问3详解】
取，得，
因为，可得，即
所以，
由函数在区间上单调递减，且，
设且，可得，则，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增，
所以不等式转化为，解得，
所以不等式的解集为．
23. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.