北京2023~2024学年高一数学第一学期期中测试试题(附答案]

这是一份北京2023~2024学年高一数学第一学期期中测试试题(附答案]，共21页。试卷主要包含了 设集合，集合，则， 已知命题， 下列函数中，在上单调递增的是， 不等式的解集是，则的值是， 已知、，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1. 设集合，集合，则（）
A. B. 2，3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.
【详解】由题意知集合，集合，
则，
故选：D
2. 已知命题：，，那么命题的否定是（）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式求解即可.
【详解】解：命题：，的否定是：，.
故选：C
3. 设，，则下列不等式中一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，举出反例逐一判断即可.
【详解】解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误.
故选：C.
4. 下列函数中，在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
5. 不等式的解集是，则的值是（）
A. B. 3C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件可得1，3是方程的二根，再借助韦达定理计算即得.
【详解】因不等式的解集是，则1，3是方程的二根，
于得且，解得，，，
所以的值是.
故选：A
6. 若函数是偶函数，且在区间上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，结合单调性得出.
【详解】因为函数是偶函数，所以
又在区间上单调递减，且
所以，即
故选：A
7. 函数在以下哪个区间内一定存在零点（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数定义域为，排除A；
又，
，
，
根据零点存在性定理可得函数在内一定存在零点
故选：D
8. 已知、，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，由基本不等式可得，则，，
所以，“”“”；
若，可取，，但，
所以，“”“”.
因此，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将解不等式转化为与的图像比较，进而观察两个函数图象的特征，从而求出不等式的解集．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象，
在同一坐标系内画出的图象，
因为，，所以，
又，，
所以的图象与的图象交于和两点，如图，
所以结合图像可知，的解集为.
故选：C.
10. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（）
（注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（）
A. 当时，
B. 若，则
C. 当时，的图象关于直线对称
D. 存在大于1的实数m，使方程（）有实根
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，或或x为内的无理数时，，当为内的有理数时，也满足；B选项，分别考虑分别为0，1，内的有理数或无理数时，讨论得到；C选项，考虑，1或内的无理数，，为内的有理数，也满足，故C正确；D选项，求出的值域，从而得到方程无根.
【详解】A选项，当或或x为内的无理数时，，
故，此时；
当（且p、q为互质的正整数）时，（且p为正整数），
则，此时，
当时，，A正确；
B选项，若或，此时，，
又，故满足；
若或，不妨设，此时，，
又，故满足；
若为内的无理数时，为内的无理数或（且p、q为互质的正整数），
此时，又，故；
若中一个为内的无理数，另一个为（且p、q为互质的正整数），
此时为内的无理数，故，又，
故；
若均为（且p、q为互质的正整数），设，
，故，B正确；
C选项，，1或内的无理数，则，，，
若为内的有理数，设（且p、q为互质的正整数），
则，
综上，当时，的图象关于直线对称，C正确；
D选项，的值域为，其中为大于等于2的正整数，
若，因为，所以，
此时方程（）无实根，D错误.
故选：D
二．填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处）
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据开偶数次方，根号里的数大于等于零即可得解.
【详解】解：由，
得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
12. 已知正数满足，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意由基本不等式即可求得当时，取得最大值.
【详解】根据题意，利用基本不等式可得，
即可得，
当且仅当，即时，等号成立；
因此的最大值是.
故答案为：
13. 不等式的解集为___________.
【答案】且
【解析】
【分析】转化，且，即，且，求解即可
【详解】由题意，，且
，且
解得：且
故不等式的解集为且
故答案为：且
14. 能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
【答案】1，1（答案不唯一）
【解析】
【分析】若是假命题，可推出，故只需列举出满足条件的两个正整数即可．
【详解】若是假命题，则，
又，，都是正数，，
，，
故当时，是假命题，
故答案为：1，1（答案不唯一）．
15. 已知函数（）．
①当时的值域为__________；
②若在区间上单调递增，则的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若在区间上单调递增，则有，解之即可得解.
【详解】解：当时，
若，则，
若，则，
所以当时的值域为；
由函数（），
可得函数在上递增，在上递增，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，
所以若在区间上单调递增，则的取值范围是.
故答案为：；.
16. 设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④．
（1）若，满足条件④，则a的取值范围为______．；
（2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1），满足条件④，即在上恒成立，分类讨论a的取值，即可得答案.
（2）分别求出条件①、条件②、条件③、条件④成立的参数a的范围，再结合，恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，满足条件④，即在上恒成立，
即在上恒成立,
由于，故在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，在上恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，在上不会恒成立，不符合题意；
故综合以上得；
（2）当①成立时，即在上恒成立，
即在上恒成立，
由于在上单调递增，故，
故；
当②成立时，即在上恒成立，
即在上恒成立，
由于在上单调递增，故在上不会恒成立，
即此时；
当③成立时，即在上恒成立，
同（1）可得；
由（1）知④成立时，；
当，恰满足条件①时，则，，同时成立，即；
当，恰满足条件②时，；
由于条件③、条件④成立时，二者都等价于，故，不会恰满足其中一个，
综合以上可知；
故答案为：；
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可.
Ⅱ卷
三．解答题（共6个小题，共80分．请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）
17. 已知集合，
（1）求集合；
（2）已知，求，．
【答案】（1）或
（2）或，
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法即可得解；
（2）根据交集，并集和补集的定义即可得解.
【小问1详解】
由得，解得或，
所以或；
【小问2详解】
或；
，所以.
18. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数．
【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）具体见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义进行即可证明；
（2）根据单调性的定义即可证明.
【小问1详解】
函数为奇函数.函数定义域为，，即函数为奇函数.
【小问2详解】
设是上任意两个取值，且，
所以，
因为，所以，则，
于，即函数在区间上单调递增.
19. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，；
（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
（2）求函数的解析式；
（3）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）
【答案】（1）图象见解析，单调递增区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数图象的特征作图即可，结合函数图象写出单调增区间即可；
（2）令，则，再根据函数为偶函数结合已知区间的函数解析式即可得解；
（3）关于x的方程有2个不相等的实数根，即函数的图象与函数的图象由两个不同的交点，结合函数图象即可得解.
【小问1详解】
如图所示：
单调递增区间为；
【小问2详解】
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
令，则，
故，
所以当时，，
所以；
【小问3详解】
因为关于x方程有2个不相等的实数根，
所以函数的图象与函数的图象由两个不同的交点，
结合（1）中的图象可知，.
20. 已知函数，．
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，若时，关于的方程有解，求实数m的取值范围；
（3）当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令求出的值即可；
（2）求出函数在上的值域即可；
（3）从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
当时，，
令，得，
所以函数的零点为；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
所以函数在上的值域为，
因为时，关于的方程有解，
所以；
【小问3详解】
，
方程的根为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上所述，当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．
（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；
（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1）；（2）当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数，
即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进
而求出函数的最小值.
试题解析：
（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费.
由,得
所以
（2）因为
当且仅当,即时取等号
所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．
（2）导数解法：，令得
当时，，当时，．
所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．
考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．
22. 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，求证：A不可能具有性质；
（3）若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论，
（3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合.
【小问1详解】
因为，
又，但，
所以集合不具有性质，
因为，
又，
但，
所以集合具有性质，
【小问2详解】
将集合中的元素分为如下个集合，
，
所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素，
所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为，
所以A不可能具有性质；
【小问3详解】
先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.