甘肃省白银市第八中学2025_2026学年高三上学期9月月考数学试卷[含解析]

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一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论.
【详解】根据题意，原式，移项得，即，
所以，解得，即，
所以.
故选：B.
2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解．
【详解】将原函数求导得：，
因函数在处取得极大值，则，解得.
当时，.
令，得或；令，得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值， 满足题意.
故选：A．
3. 已知两个单位向量满足，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由通过平方得到，再通过平方即可求解.
【详解】由，得，所以，
所以．
故选：C．
4. 现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 60种
【答案】D
【解析】
【分析】利用间接法可求得不同分派方法总数.
【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种，
其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法，
将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法，
又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有，
所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，
则不同的分派方法共有种.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 或-2D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】把所给条件进行平方并除以“1”，再把“1”化为“”，分子分母同时除以，可得关于的方程，先求出，再代入二倍角公式求出.
【详解】由题意，
可得，
解得或，
代入得到，
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可.
【详解】由可得：，
又由可得：。
而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
下面作出函数，，，的图象：
由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标，
方程的根为，即为如图交点的横坐标，
由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：，
根据同构方程思想可得：满足和的根必有：，
所以，
故选：A.
7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（ ）（参考数据：）
A. 36小时B. 38小时C. 40小时D. 42小时
【答案】C
【解析】
【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案.
【详解】记第n小时后细胞的个数为，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
故，
令，得，
则，故，
又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时.
故选：C
8. 已知函数的定义域为，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，依题意，结合等比数列求和公式，利用放缩法求解范围即可．
【详解】设，，
又，所以，
由得，
则有，
因此数列从第二项起，后一项不小于前一项的2倍，故，
所以；
.
由得，
则有，
因此数列从第二项起，后一项不大于前一项的3倍，故，
所以
，即，故D正确．
故选：D
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，作差比较法，以及对数函数的单调性，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，可得，因为，可得，所以B正确；
对于C中，由，
因为，可得，所以，
所以，所以C正确；
对于D中，由，
当时，函数为单调增函数，此时；
当时，函数为单调减函数，此时，所以D不正确.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总样本的方差为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，根据相关系数的含义判断；对B，由百分位数求法可判断；对C，根据独立性检验的思想判断；对D，由分层抽样的方差公式求解即可判断.
【详解】对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，反之两个变量的线性相关性越弱，故A错误；
对于B，数据是从小到大排列的，由，
则第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数为，故B正确；
对于C，因为，所以有的把握可判断分类变量与有关联，此推断犯错误的概率不大于，故C正确；
对于D，设样本甲的平均数为，样本乙的平均数为，甲乙组成的总样本的平均数为，
所以甲乙组成总样本的方差为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，恒成立
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间上存在唯一极小值点
D. 当时，有2个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断
【详解】当时，若，则有，此时∴A错误．
当时，，令，
当时，，，在上递减．∴B正确．
当时，，令，
则，令，则，
当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点，
则当递减，当递增，
是在区间上的唯一极小值点，∴C正确．
当时，，定义域为，，恒成立
在定义域内为增函数， 不可能有2个零点.
故选：
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答）
【答案】28
【解析】
【分析】根据二项式定理的展开通项即可得出答案.
【详解】展开式的通项为，令，得，
故展开式的常数项为.
故答案为：
13. 已知，函数，若，则最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】由，分析可得，再代入构造基本不等式可得结果.
【详解】由题意可知的定义域为，令，解得；令，解得.
则当时，，故，所以；
当时，，故，所以，故，即，
又，所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8.
故答案为：8.
14. 已知函数，若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设有，利用均值代换后可得，分类讨论后结合零点分布可求最小值.
【详解】由题设得，
即为，
故，
整理得到：，
令，，则，
故，
故，由对称性不妨设，
若，则，
故，
故，
整理得：，
故，矛盾.
若，则，
设，则，
故在有解，
令，，
故或，
故或，
故或，故，
故即
故答案为：.
四、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.)
15. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出的值；
（2）写出的表达式，即可求出的单调递增区间.
【小问1详解】
由题意，
在中，
，
∵的最小正周期为，
∴，解得.
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，，
∴，
当单调递增时，，，
解得，，
∴的单调递增区间为．
16. 已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.
（1）求的解析式；
（2）证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式.
（2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证.
【小问1详解】
函数，因函数的图象与的图象关于直线对称，
则，
故函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，恒有，
若，则，，而，因此；
若，则，，，因此，
综上，可得.
17. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人）
假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率；
（2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望；
（3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为.
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接求解即可；
（2）结合（1）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；
（3）求解，，即可利用放缩以及不等式的性质求解．
【小问1详解】
该校男生喜欢篮球的概率约为，
该校女生喜欢篮球的概率约为.
【小问2详解】
由题意可知：,
,
,
,
故
【小问3详解】
．理由如下：
，设该校总人数为，，则该校喜欢羽毛球的人数约为，
由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为，
所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为，
故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为．
故
18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
由于，
故，则，
由于E为AC中点，所以，
因为平面，
故平面，又平面，
故平面平面.
【小问2详解】
（i）因为，
所以为边长为2的等边三角形，则，
，
，
又平面，
故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）设则，
所以，
则，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
19. 已知函数
（1）求在区间的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调区间与极值；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析过程
（2）答案见解析过程 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可；
（2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可；
（3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
由，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以，
在区间的最大值和最小值分别是；
【小问2详解】
由，函数的定义域为全体正实数集，
当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，
该函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
【小问3详解】
问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于
在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，则有，由（2）可知在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，
所以有；
当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为，
所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
球类
男生
女生
喜欢
不喜欢
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不喜欢
篮球
400
100
200
100
羽毛球
350
150
250
50