甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D.
4. 已知关于x函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与的夹角是
7. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 过椭圆上的点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在轴、轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法命题正确的是（ ）
A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知，，则在上的投影向量为
D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
10. 下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若，则
11. 已知为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0上有异于原点的Ax1,y1，Bx2,y2两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ）
A. 若，则三点共线B. 若，则三点共线
C. 若，则三点共线D. 若，则三点共线
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______．
13. 二项式的展开式中，项的系数为______.
14. 已知正实数满足则当 取得最小值时，______
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
15. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求证：；
（2）若，且，求的面积．
16. 记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最大值．
17. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．
（1）证明：．
（2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
（1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
（2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
（3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.
参考公式：，其中.
参考公式及数据：，其中.
19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；
（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828