数学11.3 乘法公式精品当堂检测题

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知识点01 两数和乘以这两数差
1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
用字母表示为 ．
2.平方差公式的几种常见变化及应用
注意：
1.公式的特征:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数:等号右边是乘式中两项的平方差
2.字母的意义:平方差公式中的既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。
知识点02 两数和(差)的平方
1．两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍．用字母表示为 ．
2.两数和(差)的平方公式的几种常见变形
注意：
1.公式的特征:公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和和这两项的乘积的2 倍
2.字母的意义:公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式，
知识点03 单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式
2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
注意：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除
2.单项式除以单项式的结果还是单项式,
3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果
知识点04 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为 ．
2．多项式除以单项式的一般步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
注意：
1.商的项数与多项式的项数相同,
2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号,
典型案例探究
知识点01 两数和乘以这两数差
例1.（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 两数和(差)的平方
例1.（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ．
【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）计算： ．
【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算．
(1)
(2)
课后作业
A
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A．B．
C．D．
2．若用简便方法计算，可以转化为计算（ ）
A．B．
C．D．
3．已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题
5．已知，，则 ．
6．若是完全平方式，则常数m的值为 ．
7．若，，则 ．
8．方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ．
三、解答题
9．运算能力计算：
(1)；
(2)．
10．已知，求的值．
11．如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形．
(1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
12．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”．
(1)判断58是否是“完美数”，并说明理由；
(2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值；
(3)已知 ，求的值．
B
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．21B．9C．81D．41
2．若，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
3．已知，则代数式的值为（ ）
A．12B．13C．18D．27
4．设，若，则（ ）
A．1014B．1013C．1012D．1011
二、填空题
5．计算： ．
6．当整数m为 时，多项式恰好为另一个多项式的平方．
7．若计算的结果不含字母x的一次项，则 ．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积为 ．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
12．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；
(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．
C
1．有下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________；
(2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明．
2．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
3．【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？
【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1．
【解决问题】
(1)实践操作：填写下表．
(2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____；
(3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想；
(4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值．
4．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
(2)若，求代数式的值．
(3)观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
变化形式
应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式
x
…
1
2
3
…
…
…