四川省成都市成实外教育集团2025-2026学年高一上学期入学统考数学试卷（Word版附解析）

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A 卷（共 100 分）
第Ⅰ卷（选择题，共 32 分）
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求）
1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，若获利 1000 元记作 元，则支出 2000 元应记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】根据数的表示直接得出即可.
【详解】由题意得支出 2000 元记作： 元，
故选：D.
2. 据统计，2025 年参加全国普通高校招生统一考试的考生人数为 1335 万人，较 2024 年的 1342 万减少 7
万人，首次出现下降趋势.数据 1335 万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将 1335 万转换为具体数字，再根据科学记数法定义，即可得答案.
【详解】1335 万= .
故选：B
3. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
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【分析】由指数幂的运算法则，逐一判断即得.
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， 与 不是同类项，不能合并，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
故选：BD
4. 如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜折射后，折射光线 ， 交于主光轴上一点
，若 ， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线及对顶角的性质求解即可.
【详解】由题意可得 ∥ ， ∥ ，
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出 60 个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这 60
人的分数，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是 85 B. 中位数是 80
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C. 众数是 21 D. 中位数是 12
【答案】A
【解析】
【分析】按照众数与中位数这两个概念进行求解即可
【详解】从统计图中知，85 分出现的次数最多，故众数是 85；
把分数按大小排列，最中间的两个数是第 30 与 31 个数，
而 ，故中位数是 ；
故只有选项 A 正确；
故选：A．
6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日
相逢？”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过
天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设北海至南海的距离为 ，则野鸭每天飞行的路程为 ，大雁每天飞行的路程为 ，结合路程、
速度、时间的关系列方程可得结论.
【详解】设北海至南海的距离为 ，则野鸭每天飞行的路程为 ，大雁每天飞行的路程为 ，
因为野鸭和大雁经过 天能够相遇，
则
所以 ，
故选：C.
7. 关于菱形的下列命题中，假命题是（ ）
A. 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形
B. 菱形的两条对角线互相平分且相等
C. 菱形的每条对角线平分两组对角
D. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
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【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质依次分析选项即可.
【详解】菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对角线为对称轴，对角线的交点为对称中心，故 A
正确；
菱形的两条对角线互相平分但不一定相等，故 B 错误；
菱形的每条对角线平分两组对角，故 C 正确；
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故 D 正确；
故选：B
【点睛】
8. 二次函数 部分图象如图所示，其对称轴为 ，且图象经过点 ，则下列结论
错误的是（ ）
A. 抛物线与 轴的另外一个交点坐标是
B. ；
C. ；
D. 若 ， 两点都在抛物线 的图象上，则
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数 的图象经过点 结合二次函数对称性即可判断 A；由二次函数对
称轴公式即可判断 B；由 结合二次函数 的图象经过点 求出 即可判
断；由点与对称轴距离的远近即可判断 D.
【详解】因为二次函数 的图象经过点 ，其对称轴为 ，
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所以由二次函数对称性可得二次函数 的图象经过点 ，A 正确；
由二次函数 的图象对称轴为 可得 ，即 ，B 正确；
由因为二次函数 的图象经过点 得 ，即 ，
所以 ，所以 ，C 正确；
因为 ，所以由二次函数开口向下及抛物线对称性可得 ，D 错误.
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
9. 分解因式： ______
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因式法和完全平方公式易得.
【详解】 .
故答案为：
10. 若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 ______ （填“ ”或
“ ”）.
【答案】>
【解析】
【分析】先将 的表达式求出来，然后进行比较大小即可.
【详解】因为点 都在反比例函数 上，
所以 .
由于 ，所以 .
所以 .
故答案为：>.
11. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度 （ ）与
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温度 （ ）部分对应数值如下表：研究发现 ， 满足公式 （ ， 为常数，且 ）.当温度
为 时，声音传播的速度 为______
温度 （ ） 0 10 30
声音传播的速度 （ ） 324 330 336 348
【答案】342
【解析】
【分析】先根据表格数据求出 的值，进而得出 的表达式，然后将 代入计算即可.
【详解】由题意，当 时， ，
则 ，①
当 时， ，
则 ，②
联立 ①②解得 ，
所以 ，
将 代入，则 （ ），
故答案为：342.
12. 如图， 是 的内接三角形， .若 的半径为 3，则劣弧 的长为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，由弧长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由 可得 ，
再由弧长公式 .
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故答案 ：
13. 如图， 是 的角平分线.按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径画弧，与边 相
交于点 ，与边 相交于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边 相交于点 ；③以点
为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；④作射线 ，与 相交于点 ，与边
相交于点 .若 ， ， ，则 的长为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据作图步骤推理得到 ≌ ，则得 ，再结合角平分线的定义，得到
∽ ，再利用相似三角形对应边成比例求出 ，进而可得 .
【详解】根据题意连接 ， ，作图如下.
根据作图步骤可得 ， ，
所以 ≌ ，则 .
又 平分 ，所以 ，故得 ∽ .
又 ， ， ，
所以 ，则 .
故答案为： .
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分）
14. 解答下列各题：
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（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据绝对值、根式、分数指数幂及特殊三角函数的值求解即可；
（2）由不等式组的解法求解即可.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
解：由 ，可得 ，
即 ，
解得 .
15. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳
动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对高一年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷
调查，两次调查均随机抽取 50 名学生.根据收集到的数据，将劳动时间 （单位： ）分为 （ ），
（ ）， （ ）， （ ）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调
查数据扇形图，部分信息如下.
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（1）在学期初调查数据条形图中， 组人数是______人，并补全条形图；
（2）高一年级有 1200 名学生，估计学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于 的人数；
（3）在本次学期末抽样调查中，有 2 名男生和 1 名女生的“一周参与劳动时间”都是 5 小时，现从他们中
随机选取 2 人代表参加学校组织的“劳动光荣”演讲比赛，求选中的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概
率.
【答案】（1） ；条形图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用总人数减去 三组的人数即可；
（2）利用学期末调查数据扇形图即可求解；
（3）利用古典概型的概率公式即可求解；
【小问 1 详解】
学期初随机抽取 50 名学生， 组人数为 人；
补全条形图如下：
【小问 2 详解】
由学期末调查数据扇形图可知，劳动时间不低于 的为 组和 组，
其中 组占比 ， 组占比 ，
则劳动时间不低于 的人数占比为 ，
高一年级有 1200 名学生，则学期末高一年级学生一周参与劳动时间不低于 的人数估计为
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人；
【小问 3 详解】
记 名男生为男 1，男 2， 名女生为女，
从 3 人中随机选取 2 人，所有可能结果为：（男 1，男 2），（ 男 1，女），（男 2，女），共 3 种，
其中恰好是 1 名男生和 1 名女生的结果有 2 种：（男 1，女），（男 2，女），
所以选中的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率为 .
16. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图， ， 是同一水平线上的两点，无人机从 点
竖直上升到 点，在 点测得 点的俯角为 ， ， 两点的距离为 .无人机继续竖直上升到 点，
在 点测得 点的俯角为 .
（1）求 两点之间的距离；
（2）求无人机从 点到 点的上升高度 （结果精确到 ）.（点 ， ， ， 在同一平面内，参
考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中根据已知的角度利用三角函数的定义求解即可；
（2）在 与 中利用正弦函数和正切函数分别求出 的长即可得出 .
【小问 1 详解】
在 中， ，
由题意知 ，
所以 ，
即 ，
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所以 两点之间的距离大约为 .
【小问 2 详解】
在 中， ，
所以 ，
即 ，
在 中， ，
所以 ，
由题意可得 ，
所以
所以 ，
即无人机从 点到 点的上升高度 大约是 .
17. 如图，等腰 中， ，点 在边 上，点 在边 上，以 为半径的 经过点
，与 相交于点 ，延长 交 于点 ，连接 与 相交于点 .
（1）若 ，求证： 为 的切线；
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的半径 和线段 的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）6，
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 证明 ，即可求证；
（2）由条件得到 ， ，由 ，先求得 ，即可得半径，
然后求得 ，进而根据 求得 的长.
【小问 1 详解】
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证明：连接 .
因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 .
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 为 的切线；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 .
由 ，可得 ，
所以 ，
所以
因为 ，
即
所以 ，
所以 .
所以 .
因为 ， 对应内角相等，
所以 .
所以 .
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所以 .
所以 的长是 .
18. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于
， 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点 为反比例函数 图像上一点，连接 ， ，若 的面积为 5，求点 的坐标；
（3）将直线 绕点 顺时针旋转 ，求旋转后的直线与双曲线的另一个交点坐标.
【答案】（1） ；
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点 坐标代入反比例函数，解出 ，即可得反比例函数的表达式，将点 坐标代入反比例函
数，得出 ，再将点 坐标代入一次函数，解出 ，即可得一次函数的表达式.
（2）设点 ，过点 作平行于 轴的直线，再利用已知三角形的面积，即可解出.
（3）构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的几何性质，结合两垂直直线斜率的乘积等于 ，即可
解出.
【小问 1 详解】
由已知点 ， 在一次函数 与反比例函数 上，
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所以 ，解得 ，所以 ，则 .
因此 ，解得 .
综上，反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 .
【小问 2 详解】
根据题意，过点 作平行于 轴的直线与直线 交于点 ，如图.
由（1）知反比例函数 ，可令点 ，则 ，
则 .
因为 ， ， .
因为 ，所以 .
当 时，整理得 ，解得 或 .
当 时，整理得 ，此时判别式 ，
方程无实数解.
综上，点 的坐标为 或 .
【小问 3 详解】
根据题意，过点 作直线 垂直旋转后的直线与点 ，取线段 的中点 ，过点 ， 作直线，如
图.
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由已知得点 ， 为等腰直角三角形， .
因为 ，即 ，所以 ，所以 .
设点 ，又 ，
即 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍），则 .
故直线 的表达式为 ，即 .
联立 ，解得交点坐标 ， ，
故旋转后的直线与双曲线的另一个交点坐标为 .
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
19. 已知代数式 ，其中 为 的小数部分，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先确定 的值，然后代入代数式中进行化简求解即可.
【详解】因为 ， 为 的小数部分，
则 .
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所以
故答案为： .
20. 已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根,且满足
,则 的值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可求出 的取值范围,再由根与系数关系可求得 的
值，结合 ,可求出答案.
【详解】一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 ,解得
.
, ,则 ,即 ,解得 或 ,因
为 ,所以只有 符合题意.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
21. 几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关
于五角星结构的问题.如图，一个边长为 1 的正五边形 有 5 条对角线，这些对角线分别相交于 ，
， ， ， 五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部
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分的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正五边形的性质，可求得各个角度，进而可得 相似于 ，计算可得 的长，
则所求落在阴影部分概率，即为阴影面积与正五边形 面积之比，即可得答案.
【详解】因为正五边形 ，
所以每个内角度数为 ，
即 ，
所以在 中， ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
因为 ， ，
所以 相似于 ，
所以 ，即 ，解得 （负值舍去），
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所以 ，
则这个点取在阴影部分的概率 .
故答案为：
22. 如图，矩形 的对角线交于点 ，将 沿着 翻折到 ， 与 交于点 .设
， 的面积为 ，则 ______.（用 和 表示）
【答案】
【解析】
【分析】设 ，利用平面几何知识和题设条件求得 ，根据三角形面积相等求得
，在 中，利用三角函数求出 ，从而得到 ，将
代入化简即得结果.
【详解】设 ，由题意， ，
在 中， ，则 ，
因矩形 ， ，则 ，
又 ，联立解得 (*)，
因 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
故 ，
第 18页/共 25页
将(*)代入，可得 .
故答案为： .
23. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这 个自然数中，任取两数之和不大于 的取法种数
进行了探究.发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，有 和 两种取法，即
；当 时，可得 ；……若 时，则 的值为______；若 ，则 的值为______.
【答案】 ①. 16 ②. 2550
【解析】
【分析】根据探究总结发现规律，分别求出 时， 的值即可.
【详解】由题意知：当 时，
设在 这 8 个数中任取两数分别为 ，则满足 取法有：
当 时， 可以取 共 7 种，
当 时， 可以取 共 5 种，
当 时， 可以取 共 3 种，
当 时， 可以取 共 1 种，
所以此时 ，
由题意知：当 时，
设在 这 101 个数中任取两数分别为 ，则满足 取法有：
当 时， 可以取 共 100 种，
当 时， 可以取 共 98 种，
当 时， 可以取 共 96 种，
当 时， 可以取 共 94 种，
当 时， 可以取 共 4 种，
当 时， 可以取 共 2 种，
当 时， 没有满足条件的值，
第 19页/共 25页
所以当 时，
，
故答案为：16；2550.
二、解答题（本大题共 3 个小题，24 题 8 分，25 题 10 分，26 题 12 分，共 30 分）
24. 2025 年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和“锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型.设计团队
通过这两个吉祥物展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙蓉花等
城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质.某商品店现有“蜀宝”和“锦仔”两种吉
祥物，供消费者购买.已知“蜀宝”的单价比锦仔的单价高 20 元，用 10000 元购买“蜀宝”的数量和用 8000
元购买“锦仔”的数量相同.
（1）求“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物每件的售价分别是多少元；
（2）需购买“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物共120个（两种吉祥物都要购买），“锦仔”的数量不能多于“蜀
宝”数量的 ，设购买“蜀宝” 个，总费用为 元，求总费用 （元）与 （个）的函数关系式，并求出
的取值范围和总费用最低时的购买方案.
【答案】（1）吉祥物 “锦仔”每件的售价为 元，吉祥物“蜀宝”每件的售价为 元，
（2） ， ，当购买“蜀宝” 个，“锦仔” 个时，总费用最低.
【解析】
【分析】（1）设吉祥物 “锦仔”每件的售价为 元，由条件列方程可得 ，解方程可得结论，
（2）由条件可得 ， 是整数，由此可求 的范围，再由条件列函数关系式，结
合函数性质求其最小值即可.
小问 1 详解】
设吉祥物 “锦仔”每件的售价为 元，则吉祥物“蜀宝”每件的售价为 元，
因为用 10000 元购买“蜀宝”的数量和用 8000 元购买“锦仔”的数量相同，
所以 ，由已知 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
第 20页/共 25页
所以吉祥物 “锦仔”每件的售价为 元，吉祥物“蜀宝”每件的售价为 元，
小问 2 详解】
因为所购买的“蜀宝”和“锦仔”两种吉祥物共 120 个，
其中购买的吉祥物“蜀宝”有 个，
所以所购买的吉祥物“锦仔”有 个， 是整数，
因为“锦仔”的数量不能多于“蜀宝”数量的 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， 是整数，
因为函数 随 的增大而增大，
所以当 时， 取最小值，最小值为 元，
所以总费用 （元）与 （个）的函数关系式为 ，
的取值范围为 是整数，
当购买“蜀宝” 个，“锦仔” 个时，总费用最低，最低费用为 元.
25. 已知二次函数 .
（1）已知该函数在 时取到最小值，且图象经过点 和点 ，求这个二次函数的表达式；
（2）若 ，点 ， ， 均在该二次函数的图象上，且 ，求 的取
值范围；
（3）若 ， ， ，且 ， ， ， 是抛物线上四点（如图），点 在 轴下方，满足
， ， 是线段 中点，求证： 轴.
【答案】（1） .
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（2） 或 .
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）由对称轴可设二次函数的顶点式，代入已知点坐标，即可求得二次函数表达式；
（2）由点 的坐标可知图象关于 对称，分情况作函数大致图象即可得到 的取值范围；
（3）设 点坐标，由中点坐标公式求得 坐标，由抛物线表达式解出 点横坐标，由 横
坐标的关系即可得证.
【小问 1 详解】
由题意可设二次函数为 ，
∴ ，解得 ，即 ，
故该二次函数的表达式为 .
【小问 2 详解】
由题意可知点 与 关于对称轴对称，则函数图象的对称轴为： ，
①当 时，当 时，函数值随 的增大而增大，∴ ，不符合题意；
②当 时，即 ，根据题意函数大致图象为：
要使 ，由图可知： ，解得 ；
③当 时，即 ，根据题意函数大致图象为：
第 22页/共 25页
要使 ，由图可知： ；
综上所述： 或 .
【小问 3 详解】
设 ， ， ，因 ， ，
则 ， ，
又 是线段 中点，则有 ，
由点 是抛物线上一点，则 ，整理得 ，
同理可得 ，
∴ ，
化简得 ，即 ，
因 ，则 ，即 ，
故 轴.
26. 在 中， （其中 ），点 是 边上一动点（点 不与 重合），点 是 边
的中点，连接 ，将 沿直线 进行翻折，其顶点 翻折后的对应点为 ，连接 并延长，
交 边于点 .
第 23页/共 25页
（1）如图 1，过点 作 的平分线 ，交 的边 于点 .求证： ；
（2）如图 2，在（1）的条件下，当点 与点 重合时如图 2，连接 ，若 、 、 三点在同一直
线上时，求 的值；
（3）如图 3，若 ，当点 与点 重合时，连接 ，若 、 、 三点在同一直线上，求
.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题，可得 ， ，进而可得 ，得证；
（2）易证 可得 ， ，由对称性可得 ， ，进而
可得 ，又由 ，可得 ，得解；
（3）延长 与 的延长线交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，设
，则 ，证明 可得 ，进而可得 ，在
中，由勾股定理列式求得 .
【小问 1 详解】
如图 1， ， ，
由题可得 ， ，
所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
由题，可得 ，又 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ， ，
又由翻折的对称性可得 ， ，
由（1）得 ，所以 ，又 ，
第 24页/共 25页
，即 ，
又由 ，可得 ，又 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
【小问 3 详解】
如图，延长 与 的延长线交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
设 ，则 ，
由翻折对称可得 ，又 ，得 ，
，则 ，
设 ，由 ， ，则 ， ，
由 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
在 中，由 ，得 ，
解得 或 （舍）
所以 的值为 .
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