湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷(含解析)

这是一份湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数与y轴的交点是（ ）
A．（0，2）B．（0，）C．（2，0）D．（，0）
2．若是一元二次方程的根，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．y的值总为正B．图像开口向下
C．图像顶点在原点D．y随x的增大而增大
4．将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补
6．已知点、、都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线不经过第一象限，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
8．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（ ）
A．B．2C．D．4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
11．已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ．
12．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
13．关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ．
14．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
16．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ．
三、解答题
17．解方程
(1)；（配方法）
(2)；（公式法）
(3)；（因式分解法）
(4)．（适当方法）
18．已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)判断点是否在此抛物线上？
19．已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
20．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为．
(1)当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系；
(3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
21．如图，直线l1：y1=−x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．

(1)求两直线交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积；
(3)根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转．得到矩形，抛物线经过A、、三点．
(1)求此抛物线的解析式（a、b、c用含n的式子表示）；
(2)若，直线与抛物线交于点、N，点Q是线段上方的抛物线上一动点，求面积最大值及此时点Q的坐标．
(3)若抛物线对称轴是的一条直线，直线与抛物线相交于两点、，当最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标．
24．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
(1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
25．平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
(3)当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
《湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷》参考答案
1．A
解：当时，，
∴一次函数与y轴的交点是（0，2）．
故选：A
2．B
解：将代入得，
，得
故选：B
3．C
解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点在原点上，，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
故选：C．
4．D
解：抛物线y=2（x-4）2-1先向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4-4）2-1，即y=2(x-8)2-1，
再向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2(x-8)2-1-2，即y=2(x-8)2-3，；
故选D ．
5．A
解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
6．B
解：，
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，
点关于y轴的对称点为，且，
∴，
故选：B．
7．D
解：∵直线不经过第一象限，
∴，
解得：．
故选．
8．D
设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
9．C
解：设，则，
∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D，
∴，，
∴，，
，
故选：C ．
10．D
解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
11．
解：由条件可知，
∴交点坐标为，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
12．50（1﹣x）2=32．
由题意可得，
50(1−x)²=32，
故答案为50(1−x)²=32.
13．3
解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：．
故答案为：3．
14．或3
解：∵，
∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，，
解得，，，
在时，当时，最大值为1，此时；
在时，当时，最大值为1，
综上，a的值为或3，
故答案为：或3．
15．2016
由题意可得，
，
，
∵，为方程的个根，
∴，
，
∴．
16．/度
解：连接，由题意可知
则，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
（1）解：
解得，；
（2）解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，；
（3）解：
即或，
解得，；
（4）解：
，．
18．(1)
(2)点不在此抛物线上
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴的值为；
（2）∵当时，，
∴点不在此抛物线上．
19．(1)见解析；
(2)12．
（1）证明：，
∵，即，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴另外一边长度为5，
∴方程一个根为5，
∴，
解得，
∴方程为，
∴，
解得，，
故的周长．
20．(1)四边形是平行四边形，见解析；
(2)
(3)可能，．
（1）解：四边形是矩形，
∴，
∵点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴；
（3）解：四边形可能为菱形．
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得：．
21．(1)（4，3）
(2)15
(3)x＜4
（1）将A（0，6）代入y1x+m得，m＝6，
∴y1x+6
将B（﹣2，0）代入y2＝kx+1得，k，
∴y2＝x+1
联立y1x+6，y2x+1，
解得x＝4，y＝3，
故D点坐标为（4，3）；
（2）由y2x+1可知，C点坐标为（0，1），
S△ABD＝S△ABC+S△ACD5×25×4＝15；
（3）由图可知，在D点左侧时，还要在x轴上方，y1＞y2，即x＜4时，有y1＞y2．
22．（1）w=－x2+90x－1800；
（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225；
（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
（1）w=（x﹣30）y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x=45时，w有最大值，最大值是225；
即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去，
即x=40．
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
23．(1)
(2)面积最大值为；
(3)；
（1）解：∵矩形中点B的坐标为，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
∵将此矩形绕O点逆时针旋转得到矩形，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，抛物线的解析式为：，
令，
解得：，，
∴点N的坐标为，
过点Q作轴，交直线于点H，如图所示：
设点，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为，
此时点Q的坐标为．
（3）解：由对称轴为，得，
解得：，
则抛物线的解析式为，
令，
整理可得，
∴，，
∴，
∴当时，的最小值为4，即的最小值为2，
∴，由可得，，
即，．
∴当最小时，抛物线与直线的交点为，．
24．(1)
(2)或
(3)
（1）解：解方程得，，
∴该方程的“友好点”P的坐标为，
故答案为：；
（2）的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
∴，
∴；
当时，，
此时，
解得；综上所述：m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程的友好点为，
∴方程为
∴．
25．(1)；
(2)，；
(3)且．
（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．