湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考 数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1. 一次函数与y轴的交点是（ ）
A. （0，2）B. （0，）C. （2，0）D. （，0）
【答案】A
【解析】
【分析】令，即可求解．
【详解】解：当时，，
∴一次函数与y轴的交点是（0，2）．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数的与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2. 若是一元二次方程的根，则的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】将代入即可求出的值．
【详解】解：将代入得，
，得
故选：B
【点睛】此题考查一元二次方程的解，将方程的解代入原方程求参数是解题关键．
3. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. y的值总为正B. 图像开口向下
C. 图像顶点在原点D. y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点在原点上，，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”的原则即可得到平移后函数解析式．
【详解】解：抛物线y=2（x-4）2-1先向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4-4）2-1，即y=2(x-8)2-1，
再向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2(x-8)2-1-2，即y=2(x-8)2-3，；
故选D ．
【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】A
【解析】
【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
6. 已知点、、都在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象对称性和增减性即可判断．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，
点关于y轴的对称点为，且，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7. 已知直线不经过第一象限，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵直线不经过第一象限，
∴，
解得：．
故选．
8. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.
【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
9. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得．
【详解】解：设，则，
∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D，
∴，，
∴，，
，
故选：C ．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
二、填空题
11. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解．
【详解】解：由条件可知，
∴交点坐标为，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
12. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
【答案】50（1﹣x）2=32．
【解析】
【详解】由题意可得，
50(1−x)²=32，
故答案为50(1−x)²=32.
13. 关于x的方程是一元二次方程，则k的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
【详解】解：∵方程一元二次方程，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程是一元二次方程．
14. 已知二次函数，时函数y的最大值是1，则________．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值．
【详解】解：∵，
∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，，
解得，，，
在时，当时，最大值为1，此时；
在时，当时，最大值为1，
综上，a的值为或3，
故答案为：或3．
15. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．
【答案】2016
【解析】
【详解】由题意可得，
，
，
∵，为方程的个根，
∴，
，
∴．
16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接，由题意可知
则，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
三、计算题
17. 解方程
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（适当方法）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是解题关键．
（1）直接利用配方法求解，即可解题；
（2）先确定求根公式中的a、b、c，再代入公式求解，即可解题；
（3）先提取公因式分解因式，再取每个因式分别为0，即可解题；
（4）直接利用配方法求解，即可解题．
【小问1详解】
解：
解得，；
【小问2详解】
解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，；
【小问3详解】
解：
即或，
解得，；
【小问4详解】
解：
，．
18. 已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）判断点是否在此抛物线上？
【答案】（1）
（2）点不在此抛物线上
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，
（1）只需把点的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）只需计算当时抛物线上所对应点的函数值是否等于，即可解决问题；
解题的关键是掌握：二次函数图像上点的坐标满足其解析式；若点的坐标满足函数的解析式，则该点在函数的图像上．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴的值为；
【小问2详解】
∵当时，，
∴点不在此抛物线上．
19. 已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）12．
【解析】
【分析】（1）先计算出，然后根据平方的性质和一元二次方程根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意方程一个根为5，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【小问1详解】
证明：，
∵，即，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴另外一边长度为5，
∴方程一个根为5，
∴，
解得，
∴方程为，
∴，
解得，，
故的周长．
【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）求出．
20. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为．
（1）当时，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系；
（3）四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；
（2）
（3）可能，．
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得出，再得出，即可得出四边形是平行四边形．
（2）得出，再根据四边形的面积代入求解即可．
（3）由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，再根据代入求出t值即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
∴，
∵点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵，
∴；
【小问3详解】
解：四边形可能为菱形．
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，勾股定理等知识，利用t值表示出各边是解题的关键
21. 如图，直线l1：y1=−x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．

（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【答案】（1）（4，3）
（2）15 （3）x＜4
【解析】
【分析】（1）将A（0，6）代入y1x+m，即可求出m的值，将B（﹣2，0）代入y2＝kx+1即可求出k的值，联立求D的坐标．
（2）由y2x+1可知，C点坐标为（0，1），分别求出△ABC和△ACD的面积，相加即可．
（3）由图可直接得出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【小问1详解】
将A（0，6）代入y1x+m得，m＝6，
∴y1x+6
将B（﹣2，0）代入y2＝kx+1得，k，
∴y2＝x+1
联立y1x+6，y2x+1，
解得x＝4，y＝3，
故D点坐标为（4，3）；
【小问2详解】
由y2x+1可知，C点坐标为（0，1），
S△ABD＝S△ABC+S△ACD5×25×4＝15；
【小问3详解】
由图可知，在D点左侧时，还要在x轴上方，y1＞y2，即x＜4时，有y1＞y2．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，主要是理解一次函数图象上点的坐标特征．
22. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=－x2+90x－1800；
（2）当x=45时，w有最大值，最大值225；
（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】
【分析】（1）根据销售利润=单个利润×销售量，列出式子整理后即可得；
（2）由（1）中的函数解析式，利用二次函数的性质即可得；
（3）将w=200代入（1）中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得．
【详解】（1）w=（x﹣30）y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x=45时，w有最大值，最大值是225；
即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去，
即x=40．
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【点睛】本题是一元二次方程与二次函数综合，考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，由利润关系得出二次函数解析式是本题的关键．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转．得到矩形，抛物线经过A、、三点．
（1）求此抛物线的解析式（a、b、c用含n的式子表示）；
（2）若，直线与抛物线交于点、N，点Q是线段上方的抛物线上一动点，求面积最大值及此时点Q的坐标．
（3）若抛物线对称轴是的一条直线，直线与抛物线相交于两点、，当最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标．
【答案】（1）
（2）面积最大值为；
（3）；
【解析】
【分析】（1）先根据旋转和矩形的性质得出，，，然后代入抛物线解析式，求出结果即可；
（2）根据时，得出抛物线的解析式为：，过点Q作轴，交直线于点H，设点，则，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可；
（3）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出，．
【小问1详解】
解：∵矩形中点B的坐标为n,1n>0，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
∵将此矩形绕O点逆时针旋转得到矩形，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，抛物线的解析式为：，
令，
解得：，，
∴点N的坐标为，
过点Q作轴，交直线于点H，如图所示：
设点，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为，
此时点Q的坐标为．
【小问3详解】
解：由对称轴为，得，
解得：，
则抛物线的解析式为，
令，
整理可得，
∴，，
∴，
∴当时，的最小值为4，即的最小值为2，
∴，由可得，，
即，．
∴当最小时，抛物线与直线的交点为，．
【点睛】本题主要为二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、方程思想及分类讨论思想等知识点．
24. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
（1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ．
（2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
（1）解方程后，根据定义即可求P点坐标；
（2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求．
【小问1详解】
解：解方程得，，
∴该方程的“友好点”P的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
∴，
∴；
当时，，
此时，
解得；综上所述：m的值为或；
【小问3详解】
存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程的友好点为，
∴方程为
∴．
25. 平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
（3）当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
【答案】（1）；
（2），；
（3）且．
【解析】
【分析】用待定系数法可得二次函数的解析式为，把解析式整为顶点坐标式，可得：，所以可知二次函数图象的顶点坐标为；
点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，所以这两个点关于抛物线的对称轴对称，从而可得：，解方程求出的值，即可得到点和的坐标分别为，，把这两个点的坐标代入二次函数的解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可求出的值；
由可知二次函数的对称轴为，当时，抛物线开口向上，在范围内随的增大而先减后增；当时，抛物线开口向下，在范围内随的增大而先增后减，所以应分两种情况求解．
【小问1详解】
解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
【小问3详解】
解：由可知二次函数对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、平面直角坐标系中点的平移、待定系数法求二次函数的解析式、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想分情况求解．