福建省南平市部分学校2025-2026学年高二上学期开学联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省南平市部分学校2025-2026学年高二上学期开学联考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ）
A．“取出的是白球”B．“取出的是黄球”
C．“取出的是红球”D．“取出的不是红球”
3．若复数，则（ ）
A．B．C．5D．
4．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
7．已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ）

A．4B．3C．D．5
二、多选题
9．若复数（），则（ ）
A．当z为实数时，
B．当z为纯虚数时，
C．当z的实部与虚部相等时，
D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( )
A．
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合
11．《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ）

A．该堑堵的体积为108B．平面
C．该堑堵外接球的表面积为D．平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点
三、填空题
12．甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是 .
13．已知函数，则不等式的解集为 .
14．若的两条中线长均为2，则面积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知非零向量，，且．
(1)求x的值；
(2)求向量与的夹角；
(3)求向量在方向上的投影向量的模．
16．记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，.
(1)求A；
(2)若，求的面积.
17．某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计，数据见下表：
(1)根据上表，求的值，并估计样本的中位数；
(2)按照年龄段从，，内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率.
18．如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.

(1)证明：平面平面.
(2)求三棱锥的表面积.
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径，下底面直径，水面直径，均为圆台形水桶的母线，长度均为．现有一根细棒，其长度为cm，将放入水桶中，且将的一端置于点处（水桶厚度、细棒粗细均忽略不计）．
(1)如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？
(2)若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
(3)已知，若将的另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
1．A
利用数轴表示和并集定义即可求得.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
2．D
根据对立事件的概念即可求解.
【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”.
故选：D.
3．A
根据复数的乘法运算结合复数模的概念求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A
4．C
根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意；
对于B，由推不出，但是由可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意；
对于C，由推不出，但是由可以推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意；
对于D，由推不出，比如满足，不满足，
但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意．
故选：C
5．A
根据给定条件，利用同角三角函数公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得，解得，
由，得，则，
所以.
故选：A
6．B
根据题设画出示意图，利用正弦定理可得.
【详解】依题意，画出示意图如下，，，
在中，，由正弦定理得，
因此（海里），
所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里.
故选：B.
7．C
按照或、或、三种情况分类讨论，求出数据的中位数和极差，列式求解即可.
【详解】当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然，满足题意；
当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然不满足题意；
当正整数时，这组数据的中位数为，极差为，则，即，满足题意；
综上，满足条件的正整数的个数为3个.
故选：C
8．D
先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案.
【详解】，，
又，故，所以，
因为，，所以，
因为三点共线，所以，
故.
故选：D
9．ABD
根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断.
【详解】对于A，复数是实数，则，A正确；
对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确；
对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误；
对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解，
因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.
故选：ABD
10．BCD
对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得.
【详解】对于A：如图，因为 为等边三角形，且高为 ，
所以边长为，所以，，，A错误；
对于B：因为点的坐标为，所以，
所以，，解得
又，所以，B正确；
对于C：由上知，而，C正确；
对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为，
即所得图象与函数的图象重合，D正确.
故选：BCD.
11．ACD
直接利用棱柱体积公式求解判断A；利用直线与直线相交判断B；利用补体法求得该堑堵的外接球半径，进而求出外接球的表面积判断C；延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，利用几何关系得，即可判断D.
【详解】由题意该堑堵的体积为，故A正确；
因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误；
该堑堵可以放置在边长为6的正方体中，
该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球，
所以该堑堵的外接球半径为，
所以外接球的表面积为，故C正确；
延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，
由可知，由可得，
平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确.

12．/
根据独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式计算即可.
【详解】由题意可得.
故答案为：
13．
先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在R上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.
【详解】因为函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
，由函数和函数在R上单调递增可知，
所以函数在R上单调递增，
则由可得，
由函数在R上单调递增得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．
设两中线相交于点，设，并利用重心性质得到，，表达出S△ABC=83sinα，并求出最值.
【详解】不妨设边边上的中线长分别为，即，
相交于点，为的重心，设，
其中，，则，
故，故S△BCD=43sinα，S△ABC=2S△BCD=83sinα，
显然当时，S△ABC=83sinα取得最大值，最大值为.
故答案为：
15．(1)1
(2)
(3)
（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.
（2）根据向量的夹角公式求解即可.
（3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案.
【详解】（1）已知非零向量，，故，
而，故，解得或，
由于为非零向量，故，故；
（2）结合（1）可知，，则，
故，
故向量与的夹角为；
（3）向量在方向上的投影向量为，，
故向量在方向上的投影向量的模为.
16．(1)
(2)
（1）由余弦定理结合题干条件可得的值，结合，即可求得的值，从而求出的值即可求解；
（2）由（1）可得，由正弦定理可得.结合，解得，.由，结合，得，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理得，又，
∴.
∵，∴，∴.
又∵，∴.
∵，∴.
（2）由（1）知，，∴.
由正弦定理得，即，∴.
又，∴，解得，.
∵，
∴，即，解得或.
又，∴，∴，
∴的面积.
17．(1)，36
(2)
【详解】（1）由，得.
因为，，
所以中位数在内.
设中位数为，则，解得.
（2）由题意可知，，内的用户的比例为，
根据分层随机抽样，，抽取的9人中位于内的有3人，记这3人为，，；
位于内的有4人，记这4人为，，，；
位于内的有2人，记这2人为，.
从这9人中抽取2人，有，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，， ，，，
，，，，，，，， ，
，，这36种情况，
2人不在同一年龄段内的情况有，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，这26种，
所以这2人不在同一年龄段内的概率为.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）在三棱锥中，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）得，而，
则，
所以三棱锥的表面积.
（3）由平面，得点到平面的距离为，
由为棱的中点，得点到平面的距离，
由（2）知，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)21061+13cm
(3)
【详解】（1）当垂直于圆台形水桶的底面，即直线垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，记BM1∩PQ=D，BM1∩B1C1=E，B1E=B1C1−BC2=5cm，QD=PQ−BC2=1cm，
水桶的高ℎ=BE=BB12−B1E2=1511cm，因为∽，所以B1EQD=BEBD，即51=1511BD，解得BD=311cm，所以浸入水中部分的长度最小值为.
（2）记BM2∩PQ=H，过作，垂足为，
cs∠BCC1=−cs∠CC1B1=−GC1CC1=−110，在中，BM22=BC2+CM22−2BC⋅CM2cs∠BCC1，所以16102=402+CM22−2×40×CM2×−110，即CM22+8CM2−960=0，
解得CM2=461−1cm，（负根舍去），由（1）得，∽，
所以B1EQD=BEBD=B1BBQ=5，解得BQ=PC=10cm，
因为HP//BC，所以BHM2B=PCM2C，即BH1610=10461−1，解得BH=21061+13cm，
所以浸入水中部分的长度为21061+13cm.
（3）记圆台形水桶上底面圆的圆心为，下底面圆的圆心为，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，直线与直线一定相交，所以平面，
又平面，所以，在等腰梯形中，，A1B1=252cm，cs∠BAA1=−cs∠AA1B1=−220，
在△ABM3中，BM32=AB2+AM32−2AB⋅AM3cs∠BAA1，
所以16102=2022+AM32−2×202×AM3×−220，即AM32+4AM3−1760=0，
解得AM3=40cm，（负根舍去），
记点在平面内的投影为，点在平面内的投影为，
矩形OO1A1I如图1所示，
因为△AM3N∽△AA1I，所以AA1AM3=A1IM3N，即5040=1511M3N，解得M3N=1211cm，
记与水面交于点，点在平面内的投影为，△BM3N如图2所示，
因为△BKS∽△BM3N，所以BKBM3=KSM3N，即BK1610=3111211，解得BK=410cm，
所以浸入水中部分的长度为.分组
频率/组距
0.03
0.05
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
C
A
B
C
D
ABD
BCD
题号
11









答案
ACD