福建省南平市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名､班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号､姓名”.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第I卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.1
3.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
5.在等比数列中，是方程两根，若，则的值为
A.3 B.-3 C.9 D.-9
6.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
8.若圆与圆外切，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线，直线，则（ ）
A.当时， B.当时，
C.当时，与之间的距离为1 D.直线过定点
10.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ）
A.的周长为4
B.的取值范围是
C.的最小值是3
D.若线段中点为，则直线的斜率为
11.如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，其中，则（ ）
A.函数的极大值点为2
B.若关于的方程有且仅有两个实根，则的取值范围为
C.方程共有4个实根
D.关于的不等式不可能只有1个整数解
第II卷
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量，若，则__________.
14.已知函数在处的切线为，则直线的方程为__________.
15.已知双曲线的左､右焦点分别为为上一点且，则该双曲线渐近线的斜率为__________.
16.《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放__________层.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知数列为等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本题满分12分）
已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求的面积.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，为的中点.
（1）证明：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
20.（本题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围.
21.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少1，记动点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移2个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移1个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程；
（3）证明二次函数的图象是拋物线.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，比较与的大小；
（2）若，比较与的大小.
南平市2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分
一､选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BC 10.BCD 11.ABD 12.ACD
三､填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分.
13. 14. 15. 16.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
【解】设数列的首项为，公差为，
依题意得
解得
故.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
则
.
18.（本题满分12分）
【解】法：（1）设圆心坐标为，
由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
可得解得即圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，则半径.
所以圆的方程为.
（2）依题意，圆心到直线的距离
，
因为直线与圆相交于两点，
所以弦长，
所以.
法：（1）根据题意，圆与轴相切于点，
可得圆心的横坐标为，又圆的圆心在直线上，
则将代入方程解得，即圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，则半径.
所以圆的方程为.
（2）同法1.
19.（本题满分12分）
【解】法：（1）证明：因为平面，且平面，
所以，又，即，
以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，为的中点，
得，，，，
所以，，
所以，，
所以.
（2）由（1）可得，，，，
，所以，，，
.
设平面的法向量为，
所以即令，得，
所以平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为.
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得或（舍）
即线段的长为.
法：（1）证明：连接，过点作的平行线交于点，则，
又，则四边形为平行四边形，因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，则，所以，
又因为，所以，即，
因为平面，，且平面，
所以，因为，
所以平面，又因为平面，
所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形，
又为的中点，所以.
（2）由（1）知，两两垂直，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，为的中点，
得，，，，，
所以，，，.
以下同法.
20.（本题满分12分）
【解】（1）因为，= 1 \* GB3①
当时可得，即.
当时，，= 2 \* GB3②
由= 1 \* GB3①-= 2 \* GB3②得即，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，，
即，
，
故.
由，得，即.
依题意，不等式恒成立，
因为随着增大而减小，
所以，即的取值范围为.
21.（本题满分12分）
【解】法：（1）设动点，依题意，动点与定点的距离和动点到的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
即曲线的方程为.
（2）曲线的焦点坐标为，准线方程为，
因为是由曲线上的所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所得曲线的焦点为，准线为.
（3）因为是抛物线的标准方程，其对应的曲线是焦点为，准线为的抛物线.
即函数的图象是抛物线，其焦点为，准线为.
将的图象按向量平移可得到的图象，即的图象，
又因为平移变换只改变曲线的位置，不改变曲线的形状，
所以的图象是抛物线.
法2：（1）设动点，由题意可知，1分
当在下方时，动点到定点的距离将大于动点到的距离，所以必在的上方，
所以可化为，化简得
（2）同法1.
（3）设是上任意一点，则，
即，
所以.
因为点到点的距离为
，
又因为点到直线的距离为，
所以点到定点的距离和它到定直线的距离相等，所以的轨迹是抛物线，即二次函数的图象是抛物线.
22.（本题满分12分）
【解】（1）设函数，
则，
当时，，则在上单调递增，
所以，从而，即.
（2）设函数，
当时，，，则即恒成立，
所以，，
又，所以，
因为，所以，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，又，，所以，即，
设函数，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以，
所以，从而.