山东省烟台市莱山区2024-2025学年九年级上学期期末（五四学制）数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市莱山区2024-2025学年九年级上学期期末（五四学制）数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：．
2. 二次函数的顶点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵二次函数为，
其顶点为．
故选：A．
3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】由题意得：
∴千米
故选：A
4. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】A
【解析】由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成．故选：A．
5. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
6. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
7. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
过点作于点，
，
∴，
，
，
，
，
，且，
，
，
故选：B．
9. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①因图象开口向下，可知：；
又∵对称轴为直线，
∴，整理得：，即a、b同号．
由图象可知，当时，，
又∵对称轴为直线，可知：当时，；
即；
∴，故①正确．
②由①得：．
代入原解析式得：；
由图知，当时，，即，
∴，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设，则，
∴两边加c得到，
∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．故选：C．
10. 如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点A，点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A. 60B. C. D.
【答案】B
【解析】过作，连接，
的坐标是，在中，由勾股定理得：
，，，，
当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大，
圆的半径是5，
，
，
，
的最大值是40．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 将，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是__________________ ．
【答案】
【解析】
这6个数中，无理数有π和两个，
∵抽到每个数的可能性相同，
∴从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是．
故答案为：．
12. 如图，在中，若，，则的度数为________ ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在边长为1菱形网格中，每个菱形的一个内角为，点A，，均在格点上， 连接，，则的值为__________．
【答案】
【解析】如图所示，连接，取的中点，
根据对称性可得：，
∴
∵菱形网格的边长为，每个菱形的一个内角为60°，
∴
∴
故答案为：．
14. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________．
【答案】
【解析】第一次是以为旋转中心，长为半径旋转，
此次点走过的路径是．
第二次是以为旋转中心，为半径旋转，
此次走过的路径是，
故点两次共走过的路径是．
故答案为：．
15. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）

【答案】17
【解析】如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切．

【答案】2或6或10
【解析】设与坐标轴的切点为D，
∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点，
时，时，时，，，
， ，，
是等腰直角三角形，，
①当与x轴相切时，

∵点D是切点，的半径是2，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与x轴和y轴都相切时，

，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
③如图，仅与y轴相切于点H，则

∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
综上所述，则当或6秒或10秒时，与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17. 计算：．
解：
．
18. 如图，在中，．
（1）尺规作图：
作的平分线交于点；
以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用证明：
在（1）的条件下，求证：与相切．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：过点作于点，
平分，，，
，
即为的半径，
与相切．
19. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题，
（1）填空：______，______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
解：（1）；
将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为，
∴，
八（3）班的数据出现次数最多的为：90，
∴；
（2）由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图：
（3）八（1）班的成绩更好一些，理由如下：
两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些；
（4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下：
共20种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种，
∴．
20. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积．
解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为，
∴圆柱体底面圆的半径为，
根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为，
∴立体图形，半圆柱体，
∴图示模型的体积为，
∴体积为：；
图示立体图形的表面积：
主视图中：，，则；
左视图中：；
俯视图中：；
∴图示模型的表面积为：，
∴表面积为：．
21. 图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长．
解：延长交于点，连接，
在中，，，
，，
，
，
，
，
答：点到水平线的距离的长为．
22. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
23. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，则，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点F，作于点L，则，
∵，，∴，∴，
∵，，，
∴，∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，解得，∴的长是．
24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标．
（1）解：在中，令，则，
，
，
，
，
即点，
由题意得，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点A、、的坐标分别为：、、，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
当时，取得最大值，则点、，则，
将点A向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，
则四边形为平行四边形，则，
则此时为最小；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位，
则新抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则新抛物线的表达式为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当点在下方时，
，则，
则直线和表达式中的值相同，
而过点，
则直线的表达式为：，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点；
当点在上方时，
同理可得，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点；
综上，点的坐标为：或．
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
95
41.5
八年级（3）班
91
90
26.5
A
B
C
D
E
A
A，B
A，C
A，D
A，E
B
B，A
B，C
B，D
B，E
C
C，A
C，B
C，D
C，E
D
D，A
D，B
D，C
D，E
E
E，A
E，B
E，C
E，D