【数学】山东省烟台市莱阳市 2024-2025学年九年级下学期期末试卷（五四学制） （解析版）

这是一份【数学】山东省烟台市莱阳市 2024-2025学年九年级下学期期末试卷（五四学制） （解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列运算正确的是（ ）
A. =±6B. 4﹣3=1
C. =6D. =6
【答案】D
【解析】 故A错误，
故B错误，
故C错误，
故D正确，故选D．
2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设一元二次方程的两个根分别是，，
由韦达定理可知，，
∴．故选：D．
3. 如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
与相似比为，
与的面积比为．
故选：D．
4. 如图，点E在正方形的内部，且为等边三角形，连接并延长与交于点F，与相交于点G，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正方形中，，，，
在等边三角形中，，，
，，
，
在中，，
，
，
，
是的外角，
故选：C．
5. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式
．
故选：B．
6. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】由题意得，且，
解得且，
故选：．
7. 如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点O作于点H，如图所示：
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴
又，
∴，∴，
是的中位线，
，，
点E为延长线上一点，且，
，
在中，由勾股定理得：故选：A．
8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
9. 如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
由题意得：，
，
，
，
解得：，
灯泡到地面的高度为，
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】点O是正方形的中心，连接，则经过点O，连接，，，
∵正方形的边长为4，
∴，，又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵周长为，
∴①的周长不变，故①正确；
∵，∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，故②正确；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
综上，①②④正确，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______．
【答案】4
【解析】，
最简二次根式与二次根式能够合并，
∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式，
，解得：.
故答案为：4．
12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为______
【答案】5
【解析】因为a，b是方程的两个根，
所以，，则，
所以故答案为：
13. 已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为___．
【答案】6或
【解析】①当点F在AB的延长线上时，设BF=x，
如图1所示：
∵在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得：
又∵FH是线段AC的中垂线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠HAC，
又∵AO⊥EH，
∴∠AOE=∠AOH=90°，
在△AOE和△AOH中，
∴△AOE≌△AOH（ASA）
∴AE=AH=5，
又∵△FBE∽△FAH，
∴
∴，
解得：x=6，
∴BF=6；
②当点F在AB的上时，设BF=y，
如图2所示：
∵∠EFB=∠AFO，∠FBE=∠FOA，
∴△EFB∽△AFO，
∴∠E=∠FAO，
又∵△AFO+∠FAO=90°，∠BCA+∠FAO=90°，
∴∠EFB=∠ACB，
又∵∠EBF=∠ABC=90°，
∴△EBF∽△ABC，
∴，
∴
又∵AB=4，AB=AF+BF，
∴AF=4-y，
∵EH是AC的垂直平分线，
∴AF=FC=4-y，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：
BF2+BC2=FC2，
∴，
解得：或y=-6（舍去），
综合①②得BF=6或，
故答案为：6或．
14. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G，则四边形的周长为______．
【答案】
【解析】四边形是菱形，
，，，，
，
，
的面积，
，
，
为的中点，O是中点，
是的中位线，
，，
于点F，于点G，
四边形是矩形，
，，
四边形的周长，
故答案为：．
15. 若，是方程的两个实数根，且，则m的值为______．
【答案】
【解析】∵，是方程的两个实数根，
∴，
，
解得，
，是方程的两个实数根，
，
又，
，
即，
解得，或，
又，
的值是.
故答案为：
16. 如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为______．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，，
，
，
∽，
，
点E是中点，
，
设，则，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值．
解：已知，，，A，B为最简二次根式，且，
则，
解得：，
那么，，
则，
那么，
即，
解得：，
原式．
18. 如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长．
解：设小矩形的长为x，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：小矩形的长为
19. 如图，，与交于点E，且，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
20. 已知，．
（1）__________；
（2）若x的小数部分为的整数部分是b，求的值．
（1）解：，
，，
；
（2）解：∵，
，
，
∴整数部分是 3 ，
，
，
，
，
∴的整数部分是 0 ，小数部分，
，
，
∴的值为．
21. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积．
（1）证明：∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴点是线段的中点，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，
∴，，，
∵矩形的周长为20，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得或，
∵，
∴，，
∴，
∴菱形的面积．
22. 某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件．
（1）若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？
（1）解：设月平均增长率是x，
由题意可得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：月平均增长率是
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
答：每件售价应降低30元．
23. 在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接．
（1）如图1，若，，，求；
（2）如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：．
（1）解：四边形矩形，
，
，
，
，
，
，
的长是；
（2）证明：如图2，作于点，则，
，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
24. 如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接．
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求证：．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．