河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为
A. 5，B. ，5C. ，0D. 0，
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，
得到纵坐标即f（5）．
【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．
故选D．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．
3. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. ，不具有线性相关性B. 决定系数变大
C. 相关系数变小D. 残差平方和变小
【答案】C
【解析】
【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.
【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，
但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确
对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确；
对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差.
所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确；
对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确；
故选：C.
4. 已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出双曲线的离心率，再由焦点坐标求出值.
【详解】双曲线的离心率，
抛物线，即的焦点坐标为，依题意，，所以.
故选：D
5. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ）
A. 11B. 9C. 8D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合等差数列性质可求，再由等差数列求和公式及等差数列性质化简方程可求.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，，
又，所以，故或，
因为，故，则，
所以，所以.
故选：D.
6. 设，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得．
【详解】设，（），则.
令得，所以函数在区间单调递增.
因为，所以，
即，即，所以．
故选：B
7. 已知抛物线：（）的焦点到准线距离为2，直线过抛物线的焦点交于，两点，且，点关于原点的对称点为，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先求出抛物线方程，设，，则由两点间斜率公式和焦点弦长公式结合、即可计算求解.
【详解】由题知，故曲线：，
设，，则，且，，
所以，
又，
所以，所以.
故选：D.
8. 已知函数，数列满足，，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果；
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数，且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A. 线性回归方程至少经过点中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错；
对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确；
对于C，回归直线方程，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
故选： BCD.
10. 已知为等差数列，为正项等比数列，若，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算判断AB；利用等比数列性质计算判断CD.
【详解】对于A，等差数列中，，，
，A正确；
对于B，等差数列中，，，
不一定为0，B错误；
对于C，正项等比数列中，，，
，C正确；
对于D，正项等比数列中，，，
不一定为1，D错误.
故选：AC
11. 已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD.
【详解】由，得，
则，，，
两边同时取对数可得：，
又函数在单调递增，
∴，即，故A正确，
由，若，则，
此时，，，B错误；
所以，故，
设，则，
由，，可得，故在单调递增，
由，，可得，故在单调递减，
故，因此的最大值为，故C正确，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点睛：解题的关键是将其通过同构方法变形为，结合的单调性化简，求的最值的关键在于结合消元，将问题转化为求的最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求得答案.
【详解】依题意，点关于原点对称，而线段中点，连接，
则四边形为平行四边形，，
所以.
故答案为：6
14. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____________.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算.
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，
设第段圆弧半径为，则可得，
故数列是以首项，公差的等差数列，
则，
则“蚊香”的长度为
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由已知等式可得，两式相减可得，再验证时的情形即可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得，利用裂项相消法即可得结果.
【详解】（Ⅰ）由可得，
上述两式相减可得，即，
因为，所以，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
16. 如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直去证明线线垂直，中间借助线面平行和线线平行即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量运算来求两平面夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
如图，连接并延长交于，连接，
为的重心，，
又，，，
平面，平面， ，
平面.
【小问2详解】
如图，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为的重心，点在线段上，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值.
17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表.
（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性；
（2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份.
参考数据：；
参考公式：.
【答案】（1），具有较强的线性相关性
（2）不能
【解析】
【分析】（1）计算、、、、，代入可得答案.
（2）用最小二乘法求月销售量与月份编号的一元线性回归方程，代入计算可得答案.
【小问1详解】
由题知，，
，
，
，
所以，
所以月份编号与销售量之间具有较强的线性相关性.
【小问2详解】
，，
所以经验回归方程为.
当时，，
所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份.
18. 设函数，，为自然对数底数.
（1）讨论的极值点个数；
（2）当，时，证明：.
【答案】（1）当时，无极值点，当时，唯一极小值点；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导，令，，，分和两种情况讨论函数的极值点即可. （2）当，时，要证：，即只需证明在恒成立，而当时，成立，从而只需证明在恒成立即可.
【详解】（1）由题意，，
记，
则，
所以在上是增函数，.
①当时，，
即在上恒成立，此时在上是增函数，无极值点.
②当时，，，
所以方程在上存在唯一零点.
所以，当时，，即；
当时，，即.
此时在上有唯一极小值点.
（2）当，时，
要证：，
只需证成立，
即只需证明在恒成立.
而当时，成立，
从而只需证明在恒成立即可.
令，，则，
令，，
则在上恒成立，
从而在上为减函数，
且，.
因此，存在，使得.
当时，；
时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，.
由，得，
所以，.
由于在上单调递减，
所以，，
即从而.
从而当，时，不等式成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值点，考查导数的应用，零点，不等式，极值等综合应用能力，考查转化与化归，推理论证与运算求解能力.属于较难题.
19. 设是双曲线的左、右顶点，直线与的斜率分别为和，已知（为非零常数）．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）讨论与的公共点个数．
（3）若位于第一象限内的点都在曲线的上方，求的取值范围．
【答案】（1）（或写成）
（2）与的公共点个数总为2
（3）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程得到左右顶点坐标，再结合题中给的已知条件以及两点求斜率可得到轨迹方程；
（2）联立方程化简，构造新的函数，根据函数的定义域以及单调性得到根的个数，再结合函数的对称性可得到结果；
（3）根据题意分情况讨论，对于恒成立问题，作差法构造新的函数，根据导函数判断单调区间，根据最值求得结果.
【小问1详解】
由题意，得，，且．
设，则，即．
所以动点的轨迹的方程为（或写成）；
【小问2详解】
联立得方程组
消去，得，
化简，得，
又，故（或），
易知函数在区间和上单调递增，且，
又，所以关于的方程（或）总有唯一实根，
又因为曲线与都关于轴对称（以代，方程不变），且，
所以当为任意非零常数时，与的公共点个数为2．
【小问3详解】
若点在第一象限，则，．
当时，，此时点必在曲线的上方．
当时，由，得，且．
由题意，得，即对任意恒成立．
令，，则不等式转化为．
设函数，则．
①当时，因为，
所以，故在上单调递增，
所以，满足题意；
②当时，令，则，解得．
故在上单调递减，所以，不合题意．
综上所述，，即，解得．
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查曲线与方程、曲线的位置关系、利用导数研究不等式恒成立时参数的取值范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，体现了直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．
月份编号
1
2
3
4
5
销售量（百万份）
8
6.3
5.1
3.2
2.4