湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2025-2026学年九年级上学期数学入学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2025-2026学年九年级上学期数学入学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数227、39、12、16、2.101001000、π2中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开．习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人．将95150000用科学记数法表示为（ ）
A．0.9515×107B．0.9515×108
C．9.515×107D．9.515×108
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+m3＝m5B．m2•m3＝m6C．m6÷m2＝m4D．（m2）3＝m8
4．（3分）若m＞n，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＞﹣2nC．m﹣2＞n﹣2D．m2＞n2
5．（3分）如图，AD，CF，BE依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A．AF＝BFB．∠ADC＝90°
C．∠ACB＝2∠ACFD．∠ABE＝∠CBE
6．（3分）如图，OD平分∠AOB，∠AOC＝2∠BOC，∠COD＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣2＝0解的情况分析正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
8．（3分）如图，是古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为（2，1），“千”所处位置为（3，3），那么“升”所处位置为（ ）
A．（4，2）B．（5，2）C．（2，5）D．（2，4）
9．（3分）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（ ）
A．7x+7=y9(x+1)=yB．7x+7=y9(x−1)=y
C．7x−7=y9x=y+9D．7x−7=y9x=y−9
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0；⑤ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
二、填空题（共18分）
11．（3分）因式分解：x2﹣4x＝ ．
12．（3分）已知x，y都是实数，且y=x−3+3−x+4，则y＝ ．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组x−a＞03x−4＜5有解，则a的取值范围是 ．
14．（3分）若点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'在第二象限，则m的取值范围是 ．
15．（3分）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数m，n，都有m∗n=n+m，例如2∗9=9+2=5，那么6*81＝ ．
16．（3分）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝6．正确的有： ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：(12)2−2−2−(2−π)0+(−1)2023．
18．（8分）（1）解不等式组：3(x−1)＜5x+1x−12≥2x−4．
（2）解方程：x2﹣6x+8＝0．
19．（8分）先化简：x2x−1÷(1+1x2−1)，然后从﹣2，﹣1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
20．（8分）2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为 ；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积．
23．（8分）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
24．（8分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”．
（1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程x−12+1=x不是关于x的一元一次不等式a2＜a−x3的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值．
25．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点是（0，1），且经过点（1，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+m的图象经过点E（0，2），与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
①若点B横坐标为2，求CD的长，并直接写出不等式ax2+bx+c＜kx+m的解；
②分别用S1，S2，S3，表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，则S1S3S22的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
2025-2026学年湖南省长沙市雨花区市长郡雨花外国语学校九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列实数227、39、12、16、2.101001000、π2中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：16=4，
无理数有39，12，π2，共有3个．
故选：B．
2．（3分）2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开．习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人．将95150000用科学记数法表示为（ ）
A．0.9515×107B．0.9515×108
C．9.515×107D．9.515×108
【解答】解：95150000＝9.515×107．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+m3＝m5B．m2•m3＝m6C．m6÷m2＝m4D．（m2）3＝m8
【解答】解：A、m2与m3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意；
C、m6÷m2＝m4，故此选项符合题意；
D、（m2）3＝m6，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）若m＞n，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＞﹣2nC．m﹣2＞n﹣2D．m2＞n2
【解答】解：A．m＞n，则m+2＞n+2，所以A选项不符合题意；
B．m＞n，则﹣2m＜﹣2n，所以B选项符合题意
C．m＞n，则m﹣2＞n﹣2，所以C选项不符合题意
D．m＞n，则12m＞12，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，AD，CF，BE依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A．AF＝BFB．∠ADC＝90°
C．∠ACB＝2∠ACFD．∠ABE＝∠CBE
【解答】解：∵CF是△ABC的中线，
∴AF＝BF，故A正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，故B正确，不符合题意；
∵BE是△ABC角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，故D正确，不符合题意；
∵CF是△ABC中线，不是角平分线，
∴无法得出∠ACB＝2∠ACF，故C无法得出，符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，OD平分∠AOB，∠AOC＝2∠BOC，∠COD＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOD，∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOC＝∠AOD+∠COD＝∠BOD+∠COD，∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，∠AOC＝2∠BOC，
∴∠BOD+∠COD＝2（∠BOD﹣∠COD），
∵∠COD＝20°，
∴∠BOD+20°＝2（∠BOD﹣20°），
∴∠BOD+20°＝2∠BOD﹣40°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠BOD＝2×60°＝120°．
故选：C．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣2＝0解的情况分析正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【解答】解：由条件可知Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣2）＝4k2+8＞0，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．（3分）如图，是古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为（2，1），“千”所处位置为（3，3），那么“升”所处位置为（ ）
A．（4，2）B．（5，2）C．（2，5）D．（2，4）
【解答】解：∵“云”所处位置为（2，1），“千”所处位置为（3，3），
∴可建立如图所示的平面直角坐标系，
∴“升”可以用数对表示为（5，2），
故选：B．
9．（3分）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（ ）
A．7x+7=y9(x+1)=yB．7x+7=y9(x−1)=y
C．7x−7=y9x=y+9D．7x−7=y9x=y−9
【解答】解：由题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0；⑤ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①正确；
②图象开口向下，得a＜0，
∵对称轴x=−b2a＞0，
∴b＞0，
图象与y轴的交点在x轴的上方，得c＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以③正确；
④∵抛物线对称轴为直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误；
⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（共18分）
11．（3分）因式分解：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
12．（3分）已知x，y都是实数，且y=x−3+3−x+4，则y＝ 4 ．
【解答】解：∵y=x−3+3−x+4，
∴x−3≥03−x≥0，
解得x＝3，
∴y＝4，
故答案为：4．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组x−a＞03x−4＜5有解，则a的取值范围是 a＜3 ．
【解答】解：x−a＞0①3x−4＜5②，
由①得，x＞a，
由②得，x＜3，
∵关于x的一元一次不等式组x−a＞03x−4＜5有解，
∴a＜x＜3，
∴a＜3，
故答案为：a＜3．
14．（3分）若点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'在第二象限，则m的取值范围是 m＞12 ．
【解答】解：∵点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'，
∴点M'（﹣2m+1，1+m），
又∵点M'（﹣2m+1，1+m）在第二象限，
∴﹣2m+1＜0且1+m＞0，
解得m＞12，
故答案为：m＞12．
15．（3分）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数m，n，都有m∗n=n+m，例如2∗9=9+2=5，那么6*81＝ 15 ．
【解答】解：6∗81=81+6=9+6=15．
故答案为：15．
16．（3分）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝6．正确的有： ①②③ ．
【解答】解：横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米），
由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确．
由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2﹣6天的4天内，共挖管道500﹣300＝200（米），平均每天挖200÷4＝50（米/天）．②正确．
乙队完成任务所用的时间＝6+（100÷50）＝8天，则甲队比乙队提前完成任务的天数＝8﹣6＝2（天）．③正确．
甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图象知，当x＝6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝2或6．④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：(12)2−2−2−(2−π)0+(−1)2023．
【解答】解：原式=14−14−1+(−1)=−2．
18．（8分）（1）解不等式组：3(x−1)＜5x+1x−12≥2x−4．
（2）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【解答】解：（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+1得：x＞﹣2，
解不等式x−12≥2x﹣4得：x≤73，
∴不等式组的解集为−2＜x≤73；
（2）∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
19．（8分）先化简：x2x−1÷(1+1x2−1)，然后从﹣2，﹣1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
【解答】解：原式=x2x−1÷（x2−1x2−1+1x2−1）
=x2x−1÷x2−1+1x2−1
=x2x−1•(x+1)(x−1)x2
＝x+1，
∵x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴x可以取﹣2，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣2+1＝﹣1．
20．（8分）2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 40 人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为 126° ；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
【解答】解：（1）∵条形统计图中A的人数为12，扇形统计图中A所占百分比为30%，
∴这次随机抽取的学生的总人数为1230%=40，
∴C的人数为40﹣12﹣12﹣4＝10．
补全条形统计图如下图所示．
（2）∵B手机观看所占百分比为1440=720，
∴扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为360°×720=126°．
（3）∵C手机观看所占百分比为1040=14，该校九年级共有学生900人，
∴估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有14×900=225（人）．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣2＝0，解得m＝±2，
∵m是正数，
∴m=2．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∵EF＝OF，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：∵四边形DOCE是矩形，OE＝2，
∴CD＝OE＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠CBO=12∠ABC=60°，
∴∠BCO＝90°﹣∠CBO＝30°，
∴OB=12BC=1，OC=BC2−OB2=3，
∴AC=2OC=23，BD＝2OB＝2，
∴四边形ABCD的面积为12BD⋅AC=12×2×23=23．
23．（8分）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【解答】解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）枚，
根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400，
整理得：m2﹣3m﹣40＝0，
解得：m1＝8，m2＝﹣5 （不符合题意，舍去），
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
24．（8分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”．
（1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 ②③ （填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程x−12+1=x不是关于x的一元一次不等式a2＜a−x3的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值．
【解答】解：（1）①﹣3（x+1）＝9，
x+1＝﹣3，
x＝﹣3﹣1，
x＝﹣4；
②2x+3＝5，
2x＝5﹣3，
2x＝2，
x＝1；
③x+54=12，
x+5＝2，
x＝2﹣5，
x＝﹣3；
3（1+x）＞x﹣4，
3+3x＞x﹣4，
3x﹣x＞﹣4﹣3，
2x＞﹣7，
x＞﹣3.5，
∴在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有②③，
故答案为：②③；
（2）①3x﹣a＝2，
3x＝2+a，
x=2+a3，
3（a+x）≥4a+x，
3a+3x≥4a+x，
3x﹣x≥4a﹣3a，
2x≥a，
x≥a2，
∵方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，
∴2+a3≥a2，
2（2+a）≥3a，
4+2a≥3a，
a≤4；
x−12+1=x，
x﹣1+2＝2x，
x﹣2x＝1﹣2，
﹣x＝﹣1，
x＝1，
a2＜a−x3，
3a＜2（a﹣x），
3a＜2a﹣2x，
2x＜2a﹣3a，
2x＜﹣a，
x＜−a2，
∵方程x−12+1=x不是关于x的一元一次不等式a2＜a−x3的“伴随方程”，
∴−a2≤1，
﹣a≤2，
a≥﹣2，
综上所述：﹣2≤a≤4，
∴a的取值范围为：﹣2≤a≤4；
②∵﹣2≤a≤4，
∴当a＝﹣2时，|a|+|a﹣3|的值最大，最大值＝|﹣2|+|﹣2﹣3|＝2+5＝7，
∴代数式|a|+|a﹣3|的最大值是7．
25．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点是（0，1），且经过点（1，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+m的图象经过点E（0，2），与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
①若点B横坐标为2，求CD的长，并直接写出不等式ax2+bx+c＜kx+m的解；
②分别用S1，S2，S3，表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，则S1S3S22的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，−b2a=0c=1a+b+c=2，
解得a=1b=0c=1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+1；
（2）①依题意m＝2，即该一次函数的解析式为y＝kx+2（k≠0），
将x＝2代入y＝x2+1得y＝5，
即点B的坐标为（2，5），
代入y＝kx+2，得k=32，
即一次函数的解析式为y=32x+2，
由y=32x+2y=x2+1，
解得A点横坐标为−12，
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，
所以CD=2−(−12)=52，
由图象可知不等式ax2+bx+c＜kx+解为−12＜x＜2，
②设A（x1，y1）B（x2，y2）（x1＜x2），则C（x1，0），D（x2，0），
将y＝kx+2代入y＝x2+1，得kx+2＝x2+1，
则x2﹣kx﹣1＝0，
解得x=k±k2+42，
∴x1=k−k2+42，x2=k+k2+42，
依题意得S1=12AC⋅OC=12y1⋅|x1|=−12x1y1，
S2=12CD⋅OE=12(x2−x1)⋅2=x2−x1，
S3=12BD⋅OD=12x2y2，
∴S22=(x2−x1)2=k2+4，
而S1S3=−12x1y1⋅12x2y2
=−14x1x2(kx1+2)(kx2+2)
=−14x1x2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4]，
∵x1=k−k2+42，x2=k+k2+42，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣1．
故S1S3=−14×(−1)×[k2×(−1)+2k⋅k+4]=14(k2+4)，
所以，S1S3S22=14，
即S1S3S22的值为定值，且该定值为14．
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高
层
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
C
C
A
B
B
C
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